Matematik
flervariabelteori
Vender tilbage med et problem, som jeg har taget op før, men som jeg dog denne gang er mere oplyst omkring. Jeg vil vise, at:
∇f(a) prik r = f(a;r)
Som Peter tidligere påpegede kan man overbevise sig om dette ved, at Δf ≈ f'xΔx+f''yΔy + f'zΔz. Jeg syntes nu bare jeg trængte til et teorem, der tog sig af den præcise matematiske formulering af dette, og det tror jeg faktisk jeg har nu. Nemlig kædereglen for multivariabel kalkulus. Mit problem er dog bare stadig, at jeg ikke kan se beviset for mig inde i hovedet, så vil nogen hjælpe mig med at finde et sted, hvor det står beskrevet eller sige, hvordan jeg skal gå frem for at bevise ovenstående.
Ydermere: Et problem i ovenstående approksimation er så vidt jeg kan se, at når man arbejder i euklidske rum, så må man bruge pythagoras til at generalisere sin teori for differentiation af funktioner af flere variable. Derfor gælder ovenstående approksimation jo vel endnu dårligere jo flere variable vi putter på vores funktion. I grænsen ser det jvf. kædereglen ikke til at betyde noget, men jeg vil egentlig gerne se kædereglen bevist også men finder øjensynlig ikke nogen beviser, som ikke anvender jacobi-matricer og altså så vidt jeg kan se argumenter fra lineær algebra. Kan den ikke bevises uden det, og hvor finder jeg et sådant bevis?
Mange tak til dem, der læser min lange besked, og vil prøve at svare på den :))
Svar #1
26. oktober 2011 af peter lind
Du har formodentlig fået defineret differentiable funktioner som grænseværdier for differenskvotienter. Man kunne lige så godt definere det ved: Hvis der gælder at
f(x+h) = a*h +o(h)*h hvor o(h)-> 0 for h → 0
siges funktionen at være differentiabel i x med differentialkvotienten a
Denne formulering kan nemt udvides til funktioner af flere variable
Hvis der gælder at
f(x+h) = f(x) + a1*h1 +a2*h2 + …. an*hn + o(h)*|h| siges funktionen at være differentiabel i x
|h| er her længden af vektoren h
Ud fra denne definition kan så vises at a'erne er de partielle afledede.
Dette er den præcise formulering du efterlyser.
Ud fra dette kan man ved at se på sammensatte funktioner og derved vise kædereglen. Kædereglen er altså noget der kommer af definitionen af differentiable funktioner og kan altså ikke bruges til det bevis du efterspørger.
Din bekymring om Pytagoras. Du kan udvide definitionen af afstand og for den sags også generalisere begrebet afstand, og bruge det. Det volder altså ikke nogen problemer
Hvis du går ind på www.ventus.dk kan du finde matematikbøger med en mere detaljeret beskrivelse af dette
Svar #2
26. oktober 2011 af Mathematica (Slettet)
Mange tak :) Men tror nu for engangs skyld, at du tager fejl her - altså med hensyn til det med kædereglen. Min lærer beviste det nemlig faktisk senere ved hjælp af kædereglen, hvor jeg selvfølgelig er så dum, at jeg ikke er god nok til at føre beviset lige nu.
Men han kiggede på den retningsaflede og brugte størrelsen f(a+tr). Dens indre funktion differentieret er jo netop lig r, så på den måde nåede han frem til sætningen.
Skriv et svar til: flervariabelteori
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.