Bevis: f(x)=sin(x) er f'(x)=cos(x )

I formlen

sin(a) - sin(b) = 2·cos( (a+b) / 2 ) · sin( (a-b) / 2 )

erstatter man a med x+h , og b med x . Derved bliver

(a+b)/2 = (x+h+x)/2 = (2x+h)/2 , og

(a-b)/2 = (x+h - x)/2 = h/2 , så

Δy / h = (sin(x+h)-sin(x)) / h

          = 2·cos( (2x+h)/2 ) · sin( h/2 ) / h

          = cos( x + h/2 ) · sin( h/2) / (h/2)

mange tak.

jeg er i tvivl med beregningerne i :

(delta y) / h = [ 2*cos( (2x+h) / 2) *sin( (h / 2)  ] / h            

Her imellem forstår jeg ikke hvordan følgende sker:

a. 2 foran cos forsvinder. 2*cos -> cos

b. 2 kommer foran sin. 2*sin

c. 2 foran x forsvinder og kun h divideres med 2. (2x+h) / 2 -> (x + (h/2)

d. h divideres nu kun med sidste del.  [ 2*cos( (2x+h) / 2) *sin( (h / 2)  ] / h -> ( [ 2*sin( h / 2 ) ] / h )

                                                                                                                                                                                                                    = cos (x + (h/2)) * ( [ 2*sin( h / 2 ) ] / h )      

                                                                                                                                                                                                                     = cos (x + ( h / 2 )) * ( sin(h/2) ) / (h / 2)

#2

a. Faktoren 2 foran cos fosvinder, fordi man forkorter brøken med 2, dvs man dividerer med 2 i tæller og nævner, hvorved der kommer (h/2) i nævneren.

b. Der er ikke noget 2 foran sin. Det 2, du taler om, er en del af argumentet i cos-funktionen.

c. Man dividerer en toleddet størrelse med 2 ved at dividere hvert led i størrelsen med 2. Det burde være kendt fra folkeskolen. (2x+h)/2 = 2x/2 + h/2 = x + h/2

d. Jeg forstår ikke, hvad dit problem er her. Produktet cos (x + ( h / 2 )) · sin(h/2)  divideres med (h/2) .

jeg forstår ikke helt, det 2 tal der står foran cos helt i starten, er det som man dividerer "væk", og det som optræder foran sin på samme tid? 

d. nej, beklager jeg ikke kan stille det så godt op, men man ganger cos (x + ( h / 2 )) med ( sin(h/2) ) / (h / 2).

men det har måske ingen betydning om cos (x + ( h / 2 ))  bliver divideret med h, når man ganger?

#4

Der er ikke noget 2 foran sin. Hvor ser du det?

Der er tale om at benytte formlen

sin(a) - sin(b) = 2·cos( (a+b) / 2 ) · sin( (a-b) / 2 )

på differenskvotienten

Δy / h = (sin(x+h) - sin(x)) / h

          = 2 · cos( (2x+h)/2 ) · sin( h/2 ) / h

og så forkorte med 2 til

          = cos( (2x+h)/2 ) · sin( h/2 ) / (h/2)

d. Når man dividerer et produkt ab med h, er det jo kun een af faktorerne, der divideres med h :

(ab) / h = (a/h) · b = a · (b/h)

Du må dykke tilbage i det, du lærte i de små klasser.

men det her står der ikke i beviset  cos( (2x+h)/2 ) · sin( h/2 ) / (h/2) i andet led står der  cos (x + (h/2)) * ( [ 2*sin( h / 2 ) ] / h ).

jeg tror godt at jeg forstår hvad der sker med x  i cos (x + (h/2)) og at man kan plusse det ind.

men hvis man forkorter det 2 tal foran cos i tæller og nævner (har jeg helt misforstået hvad du skriver i #2 a?), kan jeg ikke se hvor det 2 tal som er en del af argumentet i cos-funktionen er ( #2 b ).

#6

Nå ja, så er faktoren 2 flyttet hen foran faktoren sin(h/2) i stedet for, og så forkortes med 2 .

2 · cos( (2x+h)/2 ) · sin( h/2 ) / h =

     cos( (2x+h)/2 ) · 2 · sin( h/2 ) / h =

     cos( (2x+h)/2 ) · sin( h/2 ) / (h/2) =

     cos( (2+(h/2)) ) · sin( h/2 ) / (h/2)

ah selvfølgelig! mange tak