Forskrift for parabel

punkterne (3,0) og (7,0) er parablens skæringspunkter med x-aksen (altså er er rødderne x=3 og x=7)

Kendes rødderne til et andengradspolynomium, kan en forskrift bestemmes som:

f(x) = a(x-r1)(x-r2)    hvor r1 og r2 er rødderne og a er en arbitrær konstant

Indsættes ovenstående, får du:

f(x) = a(x-3)(x-7)                 (den "ganger vi ud" senere)

det sidste punkt (0,5) skal bruges til bestemmelse af a, - punktet indsættes i ovenstående:

5 = a(0-3)(0-7)
5 = 21a
a = 5/21

f(x) = 5/21(x-3)(x-7) = 5x²/21 -50x/21 + 5

se eventuelt vedhæftede graf

                                      3 og 7 er nulpunkter for parablen
hvorfor den
kan faktoriseres
                                      y = a·(x-3)·(x-7)           gennem (0,5)

                                      5 = a·(0-3)·(0-7)
                                      5 = 21a
                                      a = (5/21)
så du har
                                      y = ((5/21))·(x-3)·(x-7)
                                      y = f(x) = (5/21)·(x²-10x+21)
                                      f(x) = (5/21)x²- (50/21)x + 5

Beregningerne i #1 udført i TI-nspire, - se vedhæftede

   alternativt

                               x²·a + x·b + c = y           gennem (0,5)
                               0²·a + 0·b + c = 5
                               c = 5
   og dermed
   forenklingen
                               x²·a + x·b = y-5             gennem (3,0),(7,0)
   dvs
                               3²·a + 3·b = 0-5
   og
                               7²·a + 7·b = 0-5           der resterer at løse to ligniner med to ubekendte af 1. grad

                       
                              9a + 3b = -5
                              49·a + 7b = -5

 

#4 hvor får du de 21 fra?

Og så forstår jeg heller ikke helt det resultat der kommer ud til sidst?

#6 Ved indsættelse af punktet (0,5) eller sagt anderledes f(0)=5 i den "næsten færdige" forskrift:

f(x) = a(x-3)(x-7)

5 = a(0-3)(0-7)
5 = a(-3)(-7)
5 = a·21
a = 5/21

der kommer de 21 fra :-)

Ok, men jeg forstår stadig ikke det resultat beregningerne ender ud med på lommeregneren?

#9 Ved ikke rigtigt, hvordan jeg skal forklare det tydligere end:

f(x) = (5/21)(x-3)(x-7)                parenteserne (med x i) ganges sammen først
f(x) = (5/21)(x² - 7x - 3x +21)   parentesen reduceres
f(x) = (5/21)(x² - 10x +21)        brøken 5/21 ganges ind i parentesen på hver led

f(x) = (5x²)/21 -(50x)/21 + 5

skrevet i LaTeX

Så forskriften hedder: f(x)=5x²+50x+5?

nej, forskriften hedder (med ord)

5x² over 21 minus 50x over 21plus 5

Men sådan ser en forksrift for en parabel da ikke normalt ud?

forskriften for en parabel ser således ud som model:

y = f(x) = ax² + bx +c

i ovenstående er

a = 5/21

b = 50/21

c = 5