Side 2 - Hjælp til "følger"

Ahha, således at det ikke bliver større end episilon. Hvis N var 100 ville dette være større end epsilon. Men i mine matematik noter står at N er et punkt, hvor at man ved alle værdier efter N vil komme tættere og tættere på epsilon. Er det korrekt?

Løst sagt betyder det at a_n -> a for n ->∞ at an kommer til at lægge nærmere og nærmere a jo længere hen i talfølgen du kommer og at hvis du bare går tilstrækkeligt langt hen i talfølgen kan du få an lige så tæt på a som du ønsker. Dette med hvor tæt på du ønsker er så beskrevet ved ε og tilstrækkelig langt  hen i talfølgen du så skal gå er givet ved N

"Dette med hvor tæt på du ønsker er så beskrevet ved ε og tilstrækkelig langt  hen i talfølgen du så skal gå er givet ved N"

N viser altså hvor langt jeg skal gå, før at jeg kan komme så tæt på jeg vil?

ja

Men hvis epsilon er 1/200 og an = 1/n.

Så skal N blot være mindre end 200 således at an ikke bliver 1/200 ? For at komme tættere og tættere på epsilon så nærmer man sig ved f.eks at sige n= 199, n1=199,1 n2= 199,11 osv?

Nej N > 200. Hvis N > 200. Er n> N >200 gælder der så a_n=1/n < 1/200

Okay - men hvis n hele tiden bliver større, så nærmer den sig jo ikke 1/200 (episilon)

Min lærer forklarede desuden, at jeg skulle se epsilon som værende radius for en "pølse" som punkterne bevægede sig inden for og aldrig kom ud fra igen - kan det forklares på andre måder hvad epsilon er. 

Og igen som jeg skriver i #27 - hvis n hele tiden bliver større, så nærmer den sig jo ikke 1/200 (episilon) ?

                   ∀ε > 0 ∃ N∈ N ∀n∈ N       n ≥ N  ⇒  |a_n - a| < ε

N er så at sige en funktion af ε . Når ε ér valgt (vilkårlig lille), vil N være et af ε afhængigt naturligt tal. Da vi altid kan finde et naturligt tal, der blot er 1 større end N, ja så vil implikationen være sand for alle  n ≥ N . 

#28

Der er ikke tale om, at noget skal nærme sig 1/200 eller ε. At talfølgen {a_n} er konvergent med grænseværdi a betyder løst sagt, at talfølgens elementer a_n kommer tættere og tættere på a, efterhånden som n bliver større og større. Dette er givet en præcis matematisk beskrivelse gennem ε formuleringen.

At talfølgen {a_n} er konvergent med grænseværdi a betyder, at ligegyldigt hvilket positivt tal ε, der vælges, kan man finde et positivt helt tal N(ε), sådan at alle talfølgens elementer a_n fra dette trin N(ε) og op ligger mindre end afstanden ε fra a , altså så at |a_n -a| < ε for alle n, der er større end N(ε) .

Man kan betragte ε som et mål for "finheden" af undersøgelsen, der kan gøres vilkårligt lille og positiv.

Skal man undersøge, om talfølgen {a_n} med a_n = 1/n er konvergent med grænseværdi a = 0 , starter man med at vælge et ε > 0 . Til dette ε kan man nu vælge et helt tal N(ε) , så at 1/N(ε) < ε . Her kan vi vælge N(ε) = [1/ε] + 1 , hvor [...] betegner den hele del af udtrykket i den kantede parentes. Der gælder nemlig med dette valg, at 1/N(ε) < ε . Man ser også, at der for ethvert n > N(ε) gælder, at  |a_n - 0| = |1/n - 0| = 1/n < 1/N(ε) < ε . Heraf ses, at talfølgen er konvergent med grænseværdi 0 .

#29 og #30 gav mig en bedre indsigt i det. Så N er altså afhængigt af ε. Hvis Jeg vælger ε=(1/200), så vil N da være 200, da hvis man vælger tal større end N, så vil uligheden gælde?Men hvad menes med + 1?

#31

Tænker du på udtrykket

N(ε) = [1/ε] + 1     ?

Her lægges 1 til den hele del af (1/ε) for at sikre, at N(ε) er stor nok. Man kunne også have lagt 47976 til eller et andet stort helt tal. Pointen er, at når der er valgt et ε , så kan vi finde et N(ε) , så alle elementerne i følgen fra det trin og op ligger tættere på a end findheden ε . Tallet N(ε) er ikke entydigt bestemt; vi skal bare kunne finde et N, så uligheden er opfyldt for alle elementer, der kommer efter.

Ja det er det jeg mente. Så med andre ord, så vælger vi at N er stort nok, så altid 1/N(ε) < ε ?

Men er ideen ikke at finde tal N(ε), hvorefter alle n efter N(ε) er mindre end ε ?Det er vel et helt bestemt tal hvor at det skifter?

#33

Ja, hvis N > [1/ε] + 1 , er 1/N < ε . Jo større man gør N, jo mindre bliver 1/N .

Det er vel klart, at hvis vi har valgt et N , så der for alle n efter (større end) N gælder |a_n - a| < ε , så er det jo også tilfældet, hvis vi i stedet kigger på alle elementerne fra N+10000 og opefter.

Når vi betragter konvergens af en følge, så er det fløjtende ligegyldigt, hvad der sker med de første 10.000 elementer, eller de første 1.000.000.000 elementer.

Men N er vel en slags skillelinje, som siger hvornår at |an - a| < ε?

Men hvorfor siger du lige at N(ε) = [1/ε] ?

#36

Det gør jeg jo heller ikke. Jeg siger N(ε) = [1/ε] + 1 . Det er det mindste N , der kan bruges for denne følge for et givet ε. N er et nummer, for hvilket vi ved, at |a_n -a| < ε for alle efterfølgende elementer. Hvis vi har fundet, at N₁ har den egenskab for et givet ε, vil N₁+23 eller N₁+19387 jo også kunne bruges for dette ε. Det drejer sig blot om at finde et N med den egenskab.

N(ε) = [1/ε] + 1 - hvorfor er det det mindst mulige N -  synes stadigt ikke lige at jeg formår at forstå det.

#39

Du kan jo starte med at løse ligningen

1/N < ε , der giver (idet ε > 0)

N > 1/ε

Hvis jeg vælger den hele del af 1/ε og lægger 1 til, får jeg et helt tal, der altid er større end 1/ε , så det kan jeg bruge som mit N. Jeg kan som N bruge ethvert helt tal, der er større end [1/ε] + 1 , men dette er det mindste nhele tal, der har den egenskab for følgen {1/n} 's elementer .