Side 3 - Hjælp til "følger"

Men hvis N blot skal være større end 1/ε, hvorfor så ikke eksempekvis [1/ε] + 0,5 ?

#41

Fordi N skal være et helt tal.

Ahaaaa - men vi kan jo ikke vide om [1/ε] i sig selv er et helt tal ?

Håber ikke min spørgsmål virker dumme, men jeg kan sgu ikke lige se det

# 44     Kontinuitet og grænseværdi er noget af dét, der volder mest besvær. Men har man indset det én gang, siger man: nårhh, ja.

Prøv nu igen at kigge på implikationen, og især hvad, og hvor, kvantorerne kommer ind, og hvad ∀ har med ε at gøre på højre side implikationspilen. Kig på implikationen, hvad var det, der stod? - kig endnu en gang. Måske er det det formelle sprog, der volder flest kvaler?

# 43    se igen # 30   3. sidste linje.        x - 1 < [ x ]  ≤ x

#43

[1/ε] er per definition et helt tal. I #30 blev det forklaret, at [ ... ] stod for den hele del af tallet inde i den kantede parentes.

#45 og #46

Grænseværdi vil jeg mene at jeg har styr på. Men som SECC siger er det måske det formelle sprog, som er mest forvirrende. 

[ 1/ε ] <--helt tal. Men hvor burde jeg vide det fra?

hvis der for alle ε > 0 findes N, så |a – an| < ε for n > N. Med mine ord betyder det, at jeg skal finde et tal N, hvor alle tal efter N gør, at afstanden fra dit tilfældige tal og grænseværdien er mindre end  ε. 

#47

Efter at have læst forklaringen om betydningen af [ ... ] i #30 burde det være klart, at det er et helt tal. Den hele del af et reelt tal er et helt tal.

Det er ikke afstanden fra et tilfældigt tal , men afstanden mellem følgens elementer og grænseværdien, der holder sig under finheden ε fra et vist trin i følgen. Uanset hvor lille man vælger finheden ε kan man finde et N, så det er opfyldt for alle elementerne i følgen fra det trin.

# 47  Den hele del er før forklaret, men lad nu den ligge. Der er jo frit slag på alle hylder til at vælge et ε > 0 , og når dette valg er gjort, kan der altid konstrueres et N (ikke et tilfældigt tal) ud fra dette ε , som gør, at herfra dette N og så langt frem vi ønsker, kan vi få den numeriske størrelse snævret mere og mere ind. Det er jo vigtigt at huske, at der til ethvert epsilon skal/kan findes et N, (og ikke kun ét N, én gang for alle).

#49 

Nej, jeg er med på at N afhænger af ε.

Det jeg ikke forstår er 3. sidste linje i #30

Lad os vælge ε = 0,00013    så har vi   ¹/ε  = 7692,3 ....... = N

Da N skal være både hel, og større, skal n ≥ 7692,3 ...... og dermed  n ≥  [ 7692,3.... ] + 1  =  7693

Herfra og "til evigheden" passer implikationen.

Med lidt god vilje kan vi sige:        ε → 0   for  N  → ∝

# 52    smid decimalerne væk indenfor den kantede parentes, det er jo den hele del.

#51

Når du siger hel - 7692,3+1 det er ikke et helt tal? Undskyld hvis jeg spørger dumt :)

Gør man dette fordi at tallet både skal være helt og større (men der står da at n skal være større eller lig med N?)  -  så er man "nødt" til at fjerne dicimalerne oder was? Synes heller ikke, at det med at det skal være helt fremgår af den matematiske definition..

Det med den "hele del" fanger jeg ellers ikke...

[ 3,783 ]  = 3    (det hele tal)      reglen om afrunding til helt tal gælder ikke her.

[ 973,096543 ]  =  973   (det hele tal)

[ 0,00098765 ]  =  0   (det hele tal)

[ 687] = 687  (det hele tal)

Når N er et naturligt tal, er det helt og positivt. Derfor skal decimalerne væk. Dermed bliver tallet jo for lille, og de mistede decimaler må da kompenseres ved at lægge 1 på. Der kan også lægges 2, 3, 4, ....... , 897624, ..... på, men én er nok. 

Aha. en anden ting - Epsilon er et område omkring, en radius i et område, som omkranser grænseværdien, ikke? (sådant grafisk set)

#55

ε er et positivt reelt tal, der kan vælges frit, og som måler den finhed, hvormed talfølgens elementer ligger i nærheden af grænseværdien fra et vist trin i følgen.

Jeg fik blot af min lærer givet en grafisk beskrivelse af epsilon, som jeg dog ikke husker hundrede, men at epsilon var som var radius i et område, hvor radius gik hen til grænseværdien. Se vedhæftning - (det grønne område er ikke aflukket)

Se 

eller doc. 

# 57 - 59  Grafiske anskuelighedstavler er lidt "farlige" for forståelsen af de reelle tal. Man skal huske på, at i den ideelle talverden ligger tallene tættere end nogen nok så spids pen, kan anskueliggøre. Det er som en asymptote; her er det også vanskeligt at forstå, hvorfor kurven ikke vil røre den rette linje langt ude i horisonten, men det gør den ikke. Jeg tror ikke på, du får en større forståelse og indsigt ved figurbetragtning.