Bestem x og y

Skal det forstås således ?

x + y = 12

x² + y² = 80

hvilket løses som to ligninger med to ubekendte :-)

x = 4 og y = 8   (eller omvendt) vil opfylde det.

ja, netop

Udtrykket

x² + y² = 80

er ligningen for en cirkel med centrum i (0,0) og radius r = √80

se vedhæftede

Men jeg skal jo ikke finde radiusen?

Jeg skal finde ud af hvornår x²+y² bliver mindst mulig, når x+y stadig giver 12?

okay, så havde jeg misforstået det :-)

så snakker vi vel om en funktion i to variable  f(x,y) = x² + y²

som du skal bestemme minmum for, med den tillægsbetingelse at x + y = 12

Jeps.

En tanke:

x + y = 12     <=>     y = 12 - x

hvad nu, hvis du erstatter y² med (12 - x)2 så har du en funktion i en variabel, som du kan bestemme min for
samtidig med, at der er taget højde for kravet til summen mellem x og y

g(x) = x² + (12 - x)² = x² + 144 + x² -24x = 2x² - 24x + 144

en "glad" parabel, - bestem x-koordinaten til toppunktet:  x_t = -b/(2a) = -(-24)/(2·2) = 6 (dermed bliver y også 6)

lyder det rimeligt? at hvis x = y = 6 så bliver x² + y² mindst muligt

Den sidste:

der gælder stadig at  x + y = 12

samtidig gælder nu at x > 0 og y > 0

du skal nu bestemme x og y således at x² + y² bliver størst mulig 

Holder vi fast i ovenstående parabel g(x) = 2x² - 24x +144 
så skal x ligge i intervallet ] 0;12 [  
0 og 12 er ikke med fordi kravet var x>0 og y>0 (ikke større end eller lig med)

g(x) bliver således størst, hvis x er ufattelig tæt på 0 eller 12

dermed bliver x² + y² størst mulig (under hensyntagen til betingelserne), når x → 0 eller x → 12

Man løser problemet

x² + y² er mindst mulig under bibetingelsen x + y = 12

ved at bestemme røringspunktet mellem en cirkel med centrum i (0;0) med linien y = -x +12 . Dette røringspunkt er det punkt på linien y = -x+12 , der har den mindste afstand til (0 ; 0) . Afstanden mellem (0 ; 0) og linien x+y-12 = 0 er

d = |-12|/√2 = 6√2 ,

og det ses let, at punktet (x;y) = (6;6) er det punkt på linien y = -x+12, der har den korteste afstand til (0;0).

For problemet

x² + y² er størst mulig under bibetingelsen x + y = 12, og x ≥ 0 og y ≥ 0 (problemet har ingen løsning, hvis vi kræver skarpe ulighedstegn her),

drejer det sig om at finde den største afstand til (0;0) for punkter på liniestykket med endepunkterne (12;0) og (0;12) . Det er geometrisk klart, at den største afstand opnås netop i endepunkterne (12;0) og (0;12) .

#9 Smart grafisk måde at anskue problemstillingen på :-)