bevis

Det drejer sig om at bevise et specialtilfælde af Cauchy-Schwarz' ulighed i et n-dimensionalt Euklidisk vektorrum:

(∑x_i²) · (∑y_i²) ≥ (∑x_i·y_i)² ,

her med x₁ = ... = x_n = 1, og y_i = t_i .

Det er vanskeligt at gennemskue, hvad der foregår i dit bevis.

Betragt i stedet polynomiet

p(x) = (x + t₁)² + ... + (x + t_n)² .

Det er et polynomium af 2. grad i x og det er ikke-negativt for alle x , hvorfor det har højst een reel rod, så dets diskriminant d må være 0 eller negativ. Da vi kan skrive

p(x) = n·x² + 2·(∑t_i)·x + ∑t_i² ,

må der derfor gælde

d = (2·∑t_i)² - 4·n·∑t_i² ≤ 0 , eller

n·∑t_i² ≥ (∑t_i)²