Sandsynlighedsfordeling?

Tror du skal benytte den centrale grænseværdisætning. Hvis vi kalder antallet af mål i kamp k for M_k, så er M_k en diskret fordelt stokastisk variabel med en ukendt middelværdi μ og spredning σ². Det gennemsnitlige antal mål i n kampe er så givet ved

G = (M₁ + M₂ + ... + M_n) / n

Den centrale grænseværdisætning siger så at fordelingen af G går mod en normalfordeling med middelværdi μ og spredning σ²/n, når n går mod uendelig.

Dvs. at hvis det gennemsnitlige antal mål bliver beregnet ud fra tilpas mange kampe, så vil fordelingen af gennemsnittet kunne approximeres med en normalfordeling.

Bare en detalje... Glemte lige at nævne, at den centrale grænseværdisætning antager at M₁, M₂, ..., M_n er uafhængige og har samme fordeling.

#1 Der er lige det problem, at der ikke er nogen måde at finde variansen på ud fra oplysningerne i #0. For at undgå det kan man så finde en fordeling, hvor der kun er en parameter. Det oplagte her er poisson fordelingen. Fordelingen er også mere realistisk, dels fordi der er tale om hele tal og dels at den kan begrundes med at for små tidsintervalle må man regne med at sandsynligheden er proportional med tidsintervallet. Dette forudsætter indirekte at antal mål er uafhængig af hvem, der spiller, hvilket næppe holder. Jeg mener der skal flere oplysninger til for at kunne lave sådan en sandsynlighedsfordeling.

#3 Vi er helt enige om at poisson fordelingen er et godt bud på fordelingen af antal mål i en bestemt kamp (det jeg kaldte M_k i #1). Men sådan som jeg forstår spørgsmålet, så bliver der spurgt om fordelingen af det gennemsnittelige antal mål, og den vil (for n stor nok) nærme sig en normalfordeling. 

Sådan forstår jeg det ikke. Der bedes om sandsynlighedsfordelingen af antal mål i en kamp. Det kan jeg ikke få til sandsynlighedsfordelingen i gennemsnitlig antal mål. Problemet med normalfordelingen er stadig at spredningen ikke kendes. Desuden finder jeg det usandsynligt at fordelingen ligner klokkekurven. Jeg vil snarere gætte på en form der ligner poisson fordelingen.

Som nævnt i #4 er jeg enig i at fordelingen af antal mål i en kamp kunne være poissonfordelt, og helt sikkert ikke normaltfordelt. Men der bliver spurgt om fordelingen af antal mål pr. kamp, og det tolker jeg som fordelingen af gennemsnittet, og så er normalfordelingen ok for n (antal kampe) tilpas stor.

Til gengæld har du ret I at der umiddelbart mangler en oplysning for at specificere den præcise normalfordeling. I virkeligheden kunne dit og mit svar kombineres...

Vi antager at antal mål i en kamp er poissonfordelt. Baseret på gennemsnittet i 2010 vælger vi intensitetsparametren til 2.5. Så antal mål i en vilkårlig kamp er givet ved

M_k ~ Pois(2.5)

Så ved vi at både middelværdien og variansen af M_k er lig 2.5. Hvis vi så vil udtale os om fordelingen af antal mål pr. kamp G, kan vi sige at der for n tilpas stor, gælder at

G ~ N(2.5, 2.5/n)

Men du har nok ret i at det svar der bliver fisket efter er en Poissonfordeling med intensitetsparameter 2.5. I så fald er spørgsmålet dog lidt upræcist formuleret.

#6

Antal mål pr. kamp er da det samme som antallet af mål i een kamp, som Peter Lind fortolker det i #5.

#7 Det er jeg ikke enig i. Der kan for eksempel godt blive scoret 2.5 mål pr. kamp, men jeg har endnu aldrig oplevet en enkelt kamp hvor der blev scoret 2.5 mål :)

Men jeg tror vi er ude i fortolkningen af formuleringen "mål pr. kamp". Jeg ser det som et gennemsnit, mens dig og Peter ser det som "antal mål i den enkelte kamp"

#8

Det er jo gennemsnittet af "antal mål pr kamp" over mange kampe, der viser sig at være 2,5 mål pr kamp.

#9 Ja det er din fortolkning af spørgsmålet, men ikke min :) Jeg kan godt se hvad du mener, men jeg synes ikke det er den naturlige måde at fortolke det på. Du bruger jo netop udtrykket "pr kamp" i den betydning jeg forstår det, når du til sidst skriver "... viser sig at være 2,5 mål pr kamp".