Bevis for Fermat-tal

Tænker  du Fermats sætning om stationære punkter?

Hvad siger den sætning, som du lige har vedhæftet beviset for?

Dette er hvad der kommer før:

Det du vil vise er altså lemmaet? At to forskellige Fermat-tal er indbyrdes primiske?

Så det er hvad beviset beviser? - for det er det jeg er i tvivl om. Hvad det er beviset beviser?

Ja, prøv eventuelt at læse hvad lemmaet  nederst fra Billede 3 siger, og så lige efter læs konklusionen i beviset fra Billede 1.

Mange tak :) - det hjalp mig. 
Hvis jeg skal bevise at der er uendelig primtal, er det så nødvendigt at inddrage dette med Fermat-tal?

Det er ikke nødvendigt, men det er nu engang det der lægges op til i materialet du vedlægger. Hvis hovedmålet er at bevise at der uendelig mange primtal kan du godt undgå det med Fermat, men jeg kender jo ikke din opgaveformulering.

Mit problem er jeg ikke ved, hvilken sammenhæng jeg skal sætte den ind, for jeg har gennemgået Euklid og skal efter Fermat gennemgå Euller. Men syntes ikke helt der er den store sammenhæng. 

Hmm...men hvis det er det du har fået besked på, så må du hellere holde dig til det. Måske går sammenhængen op for dig senere.

Mange tak for hjælpen. Du har været en stor hjælp. 

Det virker som om du har styr på det, så tænkte på jeg lige ville stille dig et spørgsmål mere. kan du forklare det bevis jeg har vedlagt? 

Vi antager der kun er endeligt mange primtal. Hvis dette viser sig ikke at kunne lade sig gøre, må der være uendelig mange.

Antag altså, der er j primtal p₁,...,p_j. Lad x og n være naturlige tal, der opfylder at n er mindre eller lig x.

Unaset hvad n kan tallet skrives på formen:

n=n₁² · m, 

hvor m defineres som produktet:

p₁^b₁ •p₂^b₂ ·...•p_j^b_j

hvor alle b'erne er enten 0 eller 1. m skrives på denne måde fordi ethvert naturligt tal (større end 1) kan skrives som et produkt af primtal. Men vi antog jo, at der kun var j forskellige primtal at vælge mellem. Er du med på at m så skrives sådan? Hver af faktorerne giver enten 1 (hvis b er 0), eller pågældende p (hvis b er 1).

Der er her 2^j kombinationer for hvad m kan være, idet der to muligheder (0 og 1) på j pladser. Derfor 2^j.

Da n₁ er mindre eller lig kvadratroden af n (husk n=n₁² · m), som igen er mindre end kvadratrod x (da n er mindre eller lig x).  Så der er højst kvadratrod x muligheder for hvad n₁ kan være, da n ₁ jo er mindre end kvadratrod x.

Husk, n=n₁² · m. Der var 2^j muligheder for m, og kvadratrod x muligheder for n₁ . Altså 2^j gange kvadratrod x muligheder for n, dermed:

x mindre end eller lig 2^j gange kvadratrod x., hvilket ikke gælder hvis vi ser på et stort nok x. Altså har vi en modstrid. Derfor kan der ikke være endeligt mange primtal, ergo der må være uendeligt mange.

Spørg hvis der er noget tvivl.

Kan du give mig et eksempel på et for stort x?