matrix, basis... hjælp søges

En oplagt basis for V er

{ (1 , 0 , 1)  ,  (1 , 1 , 1) }

Andersen - forklaring tak????

#2

Du kan skrive V på følgende måde:

V = (r+2s,  2s,  r+2s) = (r,  0,  r) + (2s,  2s,  2s) = r·(1, 0, 1) + s·(2, 2, 2)

så 

V = span{ (1, 0, 1) , (2, 2, 2) } = span{ (1, 0, 1) , (1, 1, 1) }

jeg har selv lavet del spørgsmål 1 og 2. 

jeg mangler hjælp til del spørgsmål 3. og 4. 

3. Ja

4. Nej

kan du argumentere for det? 

Er de to vektorer lineært uafhængige, og tilhører de span{ (1, 0, 1), (1, 1, 1) } ?

der står det der står i spørgsmålet, som jeg har vedhæftet, andet er ikke oplyst. 

Vektorerne (0, 1, 0) og (1, 0, 1) er en basis for V hviss de to vektorer er lineært uafhængige, og begge tilhører span{ (1, 0, 1), (1, 1, 1) }.

ok, men hvordan ved vi om de er lineært afhængige og tilhører span? 

To egentlige vektorer er lineært uafhængige hviss de ikke er proportionale.

En vektor tilhører span{ (1, 0, 1), (1, 1, 1) } hviss den kan skrives som en egentlig linearkombination af (1, 0, 1) og (1, 1, 1)

Okay, men hvad mener du med om de er proportionale? hvordan afgøre man det? 

jeg ved ikke om du gider at skrive beregningen op, så det er helt klart for mig. jeg skal nemlig til eksamen og disse er "øvelses" opgaver. 

Okay

3. 

Vektorerne (0, 1, 0) og (1, 0, 1) er ikke proportionale, da vi ikke kan finde et tal t således at (0, 1, 0) = t·(1, 0, 1).  Så vektorerne er lineært uafhængige. 

(0, 1, 0) og (1, 0, 1) tilhører begge span{(1, 0, 1), (1, 1, 1) } fordi vi kan skrive:

(0, 1, 0) = -1·(1, 0, 1) + 1·(1, 1, 1)  og  (1, 0, 1) = 1·(1, 0, 1) + 0·(1, 1, 1)

Derfer er { (0, 1, 0), (1, 0, 1) } en basis for V

4.

(0, 1, 1) og (1, 0, 1) er lineært uafhængige, men vektoren (0, 1, 1) tilhører ikke span{(1, 0, 1), (1, 1, 1) } fordi vi ikke kan skrive (0, 1, 1) som en linearkombination af (1, 0, 1) og (1, 1, 1) dvs. der findes ikke to reelle tal r og s sådan at

(0, 1, 1) = r·(1,0,1) + s·(1,1,1)

Derfor er { (0, 1, 1), (1, 0, 1) } ikke en basis for V

tak skal du have for din hjælp.