Cirklens ligning

Løs ligningssystemet

(x -2)² + (y -3)² = 5²

y = x

Skæringspunkternes koordinater skal opfylde både cirklens og liniens ligning.

#1 jeg kan ikke lige se helt hvordan man skal gøre, men jeg ville opløse paranteserne, og reducere, således at jeg får:

x²-4x+y²-6y=15

Men kan ikke få ligningssystemet løst.

Kan du give mig et hint mere, til at komme videre ? (:

#2

Indsæt y = x i cirklens ligning, hvorved der fremkommer en 2.-gradsligning i x alene:

(x - 2)² + (x - 3)² = 5²

Løs denne 2.-gradsligning i skæringspunkternes x-koordinater. For hver løsning bestemmes skæringspunktets y-koordinat ved at benytte y = x .

Jeg altså ikke helt med på det endnu.

Altså du vil indsætte ' x ' ind på y's plads, da y=x.

forstod ikke hvad du mener med at der fremkommer en andengradsligning, det er det jo allerede.

#4

Når man substituerer y = x i cirklens ligning, fremkommer en 2.-gradsligning i x, som vist i #3. Løs nu denne 2.-gradsligning.

repeter:

                 (x - p)²  =  x² - 2px + p²

#5+6

Jeg aner altså ikke hvordan man gør-

Altså normalt i en andengradsligning finder man jo a,b og c, samt d (som er givet ved d=b^2 -4ac)

#6 kan ikke se hvorfor du får p ind.

           ...vil du påstå, at du ikke kender reglen i #6 - kvadratet på en to-leddet størrelse ?

     ...langt fra alle andengradsligninger er "serveret" reduceret og ordnet!

#7

Gang parenteserne ud i ligningen

(x - 2)² + (x - 3)² = 5²

Mathon foreslår i #6, at du benytter de kvadratsætninger, du burde have lært i folkeskolen, til at gange ud. Reducer og saml alle leddene på venstre side. Aflæs dernæst koefficienterne a, b, c i 2.-gradsligningen, og bestem rødderne ud fra den velkendte formel for rødderne i en 2.-gradsligning.

                         (x - 2)² + (x - 3)² - 25 = 0

                         x² - 4x + 4   +   x² - 6x + 9 - 25 = 0

#8 nej husker den i hvert fald ikke.

#9 Husker ikke jeg har lært den sætning ihvertfald.. Jo kan sagtens gange ud, det mit mindste problem.

x² - 4x + 4   +   x² - 6x + 9 - 25 = 0

2x² - 10x -12 = 0

så vil jeg nok bestemme koefficienterne a,b og c til at være:

a=2
b=-10
c=-12

herefter vil jeg benytte mig af ligningen som jeg selv repræsenterede tidligere.(d=b^2 -4ac)

d=b² -4ac

d=(-10)²-4*2*-12

d=100-(-96)

d=196

am I right ?

Sig endelig til hvis der er et sted der er forkert.

Men så står jeg med et problem igen, at det ikke besvarer spørgsmål b, nemlig med at bestemme kordinatsættet, til to af de skæringspunkter imellem linjen og cirklen.

#11

Ja, diskriminanten er korrekt beregnet. Beregn nu rødderne i ligningen.

Hvis du genlæser svaret i #3, vil du se, at 2.-gradsligningens rødder er x-koordinaterne til de to skæringspunkter. Skæringspunkternes y-koordinater findes så ved at benytte, at skæringspunkterne ligger på linien med ligningen y = x .

 @#11

          ...du har jo ikke løst - men gjort forarbejdet til løsning af - andengradsligningen

#12+13 min fej, det med rødderne.
#12 - >>Skæringspunkternes y-koordinater findes så ved at benytte, at skæringspunkterne ligger på linien med ligningen y = x . << det forstår jeg ikke helt hvordan du vil have jeg skal gøre.

a=2
b=-10
c=-12
d=196

x1=(-b+KVAD(d)) / (2a) = (-10+KVAD(196) / (2*2) = 1

x2=(-b-KVAD(d)) / (2a) = (-10-KVAD(196) / (2*2) = (-6)

#12 du skriver >>rødder er x-koordinaterne til de to skæringspunkter.<<

Så p₁(1,y) , p₂(-6,y) har jeg forstået det korrekt ?

    a = 2
    b = (-10)
    c = (-12)
    d = 196
    √(d) = 14

                      x = (-b±√(d)) / (2a)

                      x = (10±14) / 4   =   (5±7) / 2

                           x = -1    v   x = 6

    skæringspunkter
                                    S₁ = (-1,-1)      S₂ = (6,6)

#14

Du har ikke beregnet rødderne i 2.-gradsligningen korrekt. Dine fortegn er forkerte. Rødderne giver x-koordinaterne til de to skæringspunkter. Beregn nu skæringspunkternes y-koordinater, idet man benytter, at skæringspunkterne jo ligger på linien med ligningen y = x .

#15+16

så skæringspunkterne for x er ens med y, da x=y - er det korrekt forstået ?.

Men hvordan ville man normalt regne y-koordinaterne i tilfælde af at x ikke var lig med y.

#17

Det er meget dårligt formuleret. Skæringspunkternes y-koordinater er i dette tilfælde lig med deres x-koordinater.

Hvis det mere generelt drejer sig om at finde skæringspunkter mellem graferne for to funktioner f(x0 og g(x), finder man skæringspunkternes x-koordinater ved at løse ligningen f(x₀) = g(x₀) . For hver løsning x₀ , finder man den tilhørende y-værdi som enten f(x₀) eller g(x₀) , hvor man med fordel kan vælge den af funktionerne, der er lettest at beregne. I tilfældet med skæring mellem cirklen og den rette linie valgte jeg at indsætte x-koordinaterne i forskriften for den rette linie, hvis ligning jo var y = x .