bestem tallene a, b og

2.-gradspolynomiet kan så faktoriseres på formen

f(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂)

hvor r₁ og r₂ er de to kendte rødder (nulpunkter). Benyt den sidste oplysning f(1) = 4,5 til at bestemme a , og gang så hele polynomiet ud.

Forklaring Følger!

Det første vi vil gøre er at benytte os af lidt viden om andengrads polynomiet. Den klassiske type f(x)=ax²+bx+c er ikke ideal til hvad vi søger her, men vi ved at vi kan omskrive den ved at faktorisere den, hvilken vil sige at vi omskriver den på en sådan måde, at den nu står på faktor form istedet for og får derfor udseende som f(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂) for hvilken de to rødder nu kan indsættes. Når vi nu kender et punkt på grafen, nemlig (1 ; 4.5) kan vi indsætte det i formlen, og så det eneste vi har tilbage i formlen er faktisk den ukendte a, hvilken jo var en af de koefficienter som vi søgte! Så vi smider rødderne og det kendte punkt ind, og så regner vi lidt rundt på det. Har makeret de ændringer der er lavet fra trin til trin.

Beregning af koeffecienten a

f(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂)

4,5 = a·(1 - (-2))·(1 - 4)

4,5 = a·(3)·(-3)

4,5 = a·(-9)

4,5 / -9 = a

- 0,5 = a

Nu har vi fundet den ene af koefficienterne, nemlig a, hvilken vi så kan bruge til at bestemme b og c. For at gøre det skal vi indsætte vores nyfundne værdi for a, sammen med de to rødder. Når vi har sat det hele ind så har vi et udtryk på faktor form, hvilken vi så vil gange sammen og reducere. Igen har jeg fremhævet ændringerne mellem hvert trin, så du kan se hvad der sker.

Beregning af koeffecienten b & c

f(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂)

f(x) = -0,5 · (x - (-2))·(x - 4)

f(x) = -0,5 · (x +2)·(x - 4)

f(x) = -0,5 · (x² - 4x + 2x - 8)

f(x) = -0,5x² - (-2x) + (-1x) - (-4)

f(x) = -0,5x² +2x -1x +4

f(x) = -0,5x² + x +4

b = 1

c = 4

Konklusionen på anden del er, at når vi så har ganget dem sammen, så har vi skrevet det om til den klassiske form af andengrads polynomiet, hvorved du så kan aflæse koeffecienterne og konstantledet, direkte ud fra hvordan tallene står. I dette tilfælde kan vi se at b-ledet er 1x og c ledet er 4. For at regne om til denne formel fra faktor formen, så er vi nød til først at beregne a ud fra vores nulpunkter, og derefter kan vi indsætte og gange det hele baglæns. Nu kan man så for god ordens skyld regne efter, man skal aldrig stole på sine egne udregninger før det er regnet efter, så det gør vi lige ved at se på det punkt vi jo kendte fra opgaven, nemlig ( 1 ; 4.5 )

f(x) = -0.5·x² + 1·x + 4

4,5 = -0.5·1² + 1·1 + 4

4,5 = 4,5!

Hilsen,

Philip Falck

tusind tak phillip det var lige den forklaring jeg manglede.

Hilsen charlotte