Side 2 - Egenrum ud fra egenværdi

#20

At hvilket gav (5,5,5) ??

Altså v₁ = (0,1,0) og v₂ = (1,0,1) .

Ud fra det, nu ved jeg ikke om jeg siger det helt forkert ville jeg sige:

Jeg får oplyst at lambda er = 5, dermed skal de pågældende egenrum undersøges, for at kunne frem til det rigtige svar.

Hvis man kigger på svar mulighed 2, kan man for det første se ved faktorisering af det karateristiske polynomium, se at det er dimension 2, derfor udelukkedes svarmulighede 1 og 3.

Hvis man undersøger de to vektorer v1(0,1,0) og v2(1,0,1) for at finde deres egenværdi, kan det ses at:

v1`s egenværdi er (0,5,0)

og v2`s egenværdi er (5,0,5)

Hvis disse sumeres sammen fås (5,5,5), og man kan derfor se at denne egenvektor opfylder lambda = 5

eller er det ehlt ved siden af?

#22

Det er sådan ret meget ved siden af.

Man skal undersøge egenrummet svarende til egenværdien 5 . Af faktoriseringen af det karakteristiske polynomium fremgår det, at egenværdien 5 har multiplicitet 2, hvorfor det hertil hørende egenrum har dimension 2. Derved udelukkes svarmulighederne 1 og 3. Men hvis du ikke har lært om egenværdiernes multiplicitet i det karakteristiske polynomium og deres sammenhæng med de tilhørende egenrum, kan den fremgangsmåde jo ikke benyttes.

Det er noget vrøvl at skrive, at v₁'s egenværdi er (0,5,0) . Ved at regne efter, finder man, at Av₁ = 5v₁, hvorfor v₁ er en egenvektor for A med egenværdi 5. Egenværdierne er tal, ikke vektorer.

Tilsvarende finder man ved beregning, at Av₂ = 5v₂ , hvorfor v₂ også er en egenvektor for A med egenværdi 5. Det ses let, at de to vektorer v₁ og v₂ er lineært uafhængige. Heraf fremgår det, at dim(E₅) er mindst 2. Det vides fra et andet spørgsmål i opgaven, at λ = 3 også er en egenværdi for A . Heraf fremgår det så, at dim(E₅) ikke kan være større end 2, hvorfor dim(E₅) = 2. Det betyder så, at {v₁,v₂} er en basis for E₅, hvorfor svarmulighed [2] er korrekt.

Er det bare min computer, eller kører studieportalen helt enormt langsomt lige nu?

Jeg kan ikke uploade et billede, men tror jeg er med på det nu. Hver gang jeg opretter et var, registrerer studieportalen ikke svaret.

#24

Portalen kører glimrende set herfra.

De to spm. 5 og 6 burde ikke volde problemer. Man skal her benytte, at hvis v er en egenvektor for A med egenværdi λ, gælder der for heltalligt n ≥ 0, at

Aⁿ v = λⁿ v

har lige vedhæftet noget. Men tror jeg er med på det nu. Ok jeg kigger på spørg 5 og 6, mange tak for hjælpen :-)

Hej Andersen.

Lige et allersidste spørgsmål på denne opgave.

Spørg 5 blev (125,250,125)

Spørg 6, er jeg lidt i tvivl om hvordan den regnes. Synes ikke rigtig jeg kan komme frem til noget fornuftigt.

#27

Spm 5) er korrekt.

Spm 6) Benyt svaret i #25 . Her er u og v egenvektorer for A med hver sin egenværdi, hhv. λ_u og λ_v . Så er

A²(u - v) = A² u  -  A² v = λ_u² u  -  λ_v² v

Det er ikke noget ala det her vel??

#29

Det er godt nok svært at se med mine briller.   8-)

Ifølge opgaven er λ_u = 3 og λ_v = 25 . Derfor er

A²(u - v) = 3² u  -  5² v = 9u - 25v

ej er det bare det?

Jeg har været igang med alt muligt andet end det

Rettelse til #30

Det skulle selvfølgelig være λ_v = 5 . Resten af indlægget er korrekt.

#31

Hver gang A virker på en egenvektor u, spytter den bare den tilhørende egenværdi λ_u ud som en faktor:

A u = λ_u u

Virker man med A igen, kommer der så bare en faktor λ_u mere:

A² u = A (A u) = A λ_u u = λ_u A u = λ_u λ_u u = λ_u² u

og så benytter man, at matrixmultiplikation er lineær:

A (u - v) = A u  -  A v