Matematik

Cosinus- og Sinusrelationerne

18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Jeg skal i niende klasse skrive en større skriftlig opgave à la den i 3.g :~) Denne skal skrives i løbet af første halvår i niende klasse, og skal altså afleveres lige inden juleferien, hvorfor forventningerne til denne opgave er stor, idet der forventes at den er er overordentlig gennemarbejdet og velstruktureret. Opgaven må inklusiv alt, maksimalt være på 17 sider, og en vigtig del af opgaven er som sagt, at vi skal lære at begrænse os. Jeg har valgt at skrive inden for faget matematik, og har valgt at arbejde med cosinus- og sinusrelationerne. Men jeg er lidt i tvivl om hvad opgaven skal indeholde – tænker på selve indholdet – og hvorledes den skal struktureres. Det er klart at der skal være et bevis af de væsentligste sætninger, men da jeg ikke er helt fortrolig med differential- og vektor regning, er jeg lidt i tvivl om hvordan jeg skal bevise sætningerne, for bevisførelse er også noget, jeg kunne blive bedre til :) Men jeg skal vel indledningsvist præsenterer en række matematikere og noget historie, og derefter bevise sætningerne, opstille et problem som evt. kunne løses vha. cosinus- og sinusrelationerne og derefter beskrive de forskellige sætninger, trekantstilfælde m.v. Mit egentlige problem er at jeg ikke helt ved, hvad opgaven reelt skal indeholde, og hvorledes stoffet skal disponeres. For jeg vil gerne vide præcis hvad opgaven skal indeholde, før jeg går i gang med at skrive selve opgaven :~) Derudover kan det benævnes at jeg endnu kun har lånt to lærerbøger fra henholdsvis første- og anden-gymnasieklasse, og venter med at låne og læse mere litteratur før jeg har fået disponeret opgaven, da jeg ikke har nogen interesse i, at ville tabe den røde tråd, for derefter at lade sig styre af bøgerne. Jeg håber i forstår min situation, og at i vil hjælpe mig med at disponere og strukturere min opgave, og evt. komme med forslag til, hvilken slags opgaver m.v. man kunne løse i forbindelse med opgaven, for at vise nogle eksempler på, hvordan forskellige problemstillinger kan løses vha. cosinus- og sinusrelationerne.

Venlig hilsen,

Carl-Johan

P.s. Vil i ikke undlade nogle af jeres dybt irrelevante kommentarer, hvori der f.eks. står at jeg er en duksedreng, en overstræber og en som skal slappe af osv. Har i derimod nogle seriøse forslag eller andet konstruktivt at tilføje, vil jeg værdsætte dette utrolig meget – på forhånd tak :)

Svar #1
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Hvad vil du bruge differentialregning til ?

Du behøver ikke engang at lære noget vektorregning for at bevise sin og cos relationerne. I 1.g bliver det vist gjort ved at se på nogle arealer.

Men du kan bevise begge sætninger på ca. en side (se under matematik) ved at læse en lille bitte smule om vektorer i R^2. (Længde, Retningsvektor, Indre Produkt, vinkel mellem vektorer)

Matematik historie er efter min mening noget af det kedligste at beskæftige sig med, så mit råd er at lade være med det. (Med mindre du tænker på det filosofiske indhold i matematikken).

Svar #2
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Jeg har ingen egentlig ingen idé om, hvad man evt. kunne bruge differentialregning til i en sådan opgave - den noget irrelevante oplysning blev givet med henblik på at brugeren skulle kunne kendetegne mit niveau :~)

Jeg har læst dine to beviser af cosinus- og sinusrelationerne, men jeg må indrømme at jeg ikke forstår disse, og at jeg egentlig ønsker at gøre det ved at se på nogle arealer. Jeg kunne naturligvis godt tænke mig grundlæggende at vide lidt om vektorer, da dette tilsyneladende er noget der i forbindelse med bevisførelse, er en nyttig ting at kunne.

Det var egentlig heller ikke min hensigt at det med historien skulle fylde mere end et kort enkelt afsnit, hvor der stod lidt om baggrunden for sætningerne, og om der evt. skulle have været nogle som har talt mod dem m.v.

Men med henhold til den disponering, så er jeg lidt blank. Nogle der har nogen idéer, konkrete forslag eller noget helt tredje, så må i meget gerne skrive det, i dette forum - på forhånd tak !

Vh,

Carl-Johan

P.s. Jeg har tænkt mig at skrive opgaven i LaTeX :)

Svar #3
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Jep, man skal passe på at skyde over målet. En god opgave, der vil kunne passe på de 17 sider, vil tage udgangspunkt i 1g-stof. Det levner også plads til behandling af de historiske aspekt.

Vektorregning er et snildt værktøj til bevis af diverse sætninger, som Jean siger, men nok ikke velegnet til din opgave - det er jo trods alt cosinus- og sinusrelationerne, der er hovedfokus.

Mit råd er derfor; hold dig til dit 1g-stof, find et godt, bredt problem at behandle og skriv evt. noget historisk.

vh,

Anders

Svar #4
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Problemformulering.

Introduktion

Teori (følg din 1g-bog)

Løsning af et større, konkret problem.

Kontekst (historisk, eller hvad du nu vil)

Konklusion ;)

Svar #5
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Ja man skal passe på ikke at skyde over målet men vektorregning i R^2 er så intuitivt klart forståeligt at en snild 9. klasses elev med lidt sans for matematik sagtens kan lære de nødvendige begreber.

Svar #6
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Ja, man kan sikkert sagtens lære det, men derfra og så til at præsentere sine resultater på stringent, skriftlig form - når hovedformålet er at bevise cosinus- og sinusrelationerne - er der langt. Det vil ende for meget i vektorregning og for lidt i cos og sin... Så at sige en unødig abstraktion, når det nu også er relativt let v.h.a. arealer, om end mindre elegant.

Svar #7
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Mange tak for perspektiveringen ;-)

Jeg er nu begyndt lidt på det, ved at have oprettet selve tex-dokumentet. Derved gik det op for mig, at det er noget kompliceret og krævende at kunne skrive en sådan opgave i LaTeX :~)

Jeg har læst forskellige opgaver her på siden, og jeg ville egentlig gerne have at min egen, rent opsætningsmæssigt kunne være på niveau med disse - især Jean's opgave om Lineær Programmering synes jeg er sadt flot op. Men mht. kommandoer m.v. må jeg erkende, at jeg er en smule uerfaren, hvorfor jeg har en række spørgsmål.

Hvad skal der reelt set før man starter dokumentet ?! - Indtil nu har jeg blot indsat følgende før jeg starter dokumentet (eksklusiv sidehoved og sidefod):

\\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\\usepackage[danish]{babel}
\\usepackage{times}
\\usepackage{t1enc}
\\usepackage[dvips]{graphicx}
\\usepackage{fancyhdr}

\\pagestyle{fancy}

Men er dette alt hvad der skal stå, når det drejer sig om en forholdsvis stor og omfattende skriftlig opgave?

Desuden er jeg lidt i tvivl om, hvordan man opsætter henholdsvis en forside og dernæst en indholdsfortegnelse. På forsiden skal der blot stå titel, navn, skole, dato og evt. en problemformulering - men hvorledes sætter man en sådan forside op, og hvordan laver man f.eks. et mellemrum mellem først titel, navn, skole, dato og dernæst problemformuleringen. Og hvorledes opsætter man en indholdsfortegnelse - gerne en ligesom den der er i Jean's opgave, da jeg finder denne mest attraktiv ;)

Jeg håber i vil hjælpe mig lidt - på forhånd mange tak :)

Vh,

Carl-Johan

Svar #8
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Du kan vist få dine svar her hvis du ikke er så glad for engelsk:

http://home.imf.au.dk/daleif/latexkursus/

Denne guide er næsten på højde med "the not so short..."

Svar #9
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Hvis det fejler helt, har jeg et par pænt omfattende preamble's liggende, som jeg plejer at bruge...

Svar #10
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Jeg har nu læst størstedelen af den guide som Jean har anbefalet mig, og det er nu gået op for mig, at jeg skal sørge for at skrive formlerne m.v. op rigtigt, således at LaTeX gør arbejdet for en ;)

Vil det så sige, at hvis jeg skriver følgende, så vil der allerede være en forside og en indholdsfortegnelse, således at man starte med at skrive på side 3?

\\title{Cosinus- og Sinusrelationerne}
\\author{Christian H. Andersen}
\\date{18. juni 2002}

\\tableofcontents

\\section{Introduktion}

Men hvad er kommandoen forresten til at sektionens navn kommer oppe til venstre i sidehovedet ?! - Altså, det der som også er der i opgaven om LP :-D

Men så er jeg bare på side 3, og så skriver jeg, og så gør LaTeX resten - så enkelt er det, eller hvad ?!

- På forhånd tak !

Vh,

Carl-Johan

Svar #11
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

\\documentclass[danish,11pt]{article}
\\usepackage[latin1]{inputenc}
\\usepackage{amsmath}
\\usepackage[danish]{babel}
\\usepackage{fancyhdr}
\\addtolength{\\textheight}{3cm}
\\addtolength{\\textwidth}{2cm}
\\addtolength{\\hoffset}{-1cm}
\\pagestyle{fancy}
% with this we ensure that the chapter and section
% headings are in lowercase.
\enewcommand{\\sectionmark}[1]{\\markright{\\thesection\\ #1}}
\\fancyhf{} % delete current setting for header and footer
\\fancyhead[LE,RO]{\\bfseries\\thepage}
\\fancyhead[LO]{\\bfseries\ightmark}
\\fancyhead[RE]{\\bfseries\\leftmark}
\enewcommand{\\headrulewidth}{0.5pt}
\enewcommand{\\footrulewidth}{0pt}
\\addtolength{\\headheight}{0.5pt} % make space for the rule
\\fancypagestyle{plain}{%
\\fancyhead{} % get rid of headers on plain pages
\enewcommand{\\headrulewidth}{0pt} % and the line
}
\\title{Optimering}
\\author{Jean-Christophe B. Thomsen\\\\\\\\Hjørring Gymnasium}
\\date{26 Januar 2001}

\\begin{document}
\\maketitle
\
ewpage

\\thispagestyle{empty}
\\tableofcontents

\
ewpage

Svar #12
18. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Postscript-fonte gør godt - ta' denne med i preamble:

\\usepackage{times}

Eller alternativt:

\\usepackage{palatino}

Svar #13
19. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Ja, nu vi snakker cos og sin v.h.a. vektorer; dårlig idé!

Jeg har kigget de noter, der lå her på siden - man taber mere end man vinder. Beviset for sinusrelationerne kan jeg gå med til rent metodisk, selv om det er fuldstændig identisk med samme bevis blot ved brug af arealer.

Beviset for cosinusrelationerne undrer mig derimod noget, men måske du kan give en forklaring, Jean :). Den gængse definition af skalarprodukt i R^2 (den jeg lærte i gym.) er at

(a,b)*(c,d)=ac+bd

Med denne definition kan man bevise

(*) v*u=|v||u| cos v.

Men-men - dette gør man netop v.h.a. cosinusrelationerne..!

Det giver en lidt underlig bevisteknik - hvis A->B (A sand), er B sand. D.v.s.
B->A <=> A->A (medmindre naturligvis C->B for en sand påstand C ikke udledt af A).

Sagt på en anden måde - hvordan kan man bevise cosinusrelationerne ved at antage dem?? Antag cosinusrelatioerne

Det forstår jeg ikke helt, men det kan selvfølgelig godt være, der findes en "hemmelig" formel for bevis af (*) uden cosinusrelationerne... Jeg mindes bare ikke at være stødt på den i min gymnasietid.

vh,

Anders

Svar #14
20. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Tricket fungerer naturligvis, hvis vi _definerer_ skalarproduktet mellem to vektorer v.h.a. cosinus til vinklen mellem disse og længden af dem.

Men i den generelle sammenhæng er skalarproduktet jo defineret som summen af de parvise produkter mellem komponenterne i to n-dimensionale vektorer...

Svar #15
20. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Den må jeg vist lige tænke lidt over.

Svar #16
20. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Det er i øvrigt en glimrende måde at se på arealer ;-)

Svar #17
20. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

jeg giver anders ret i dette, for når man viser vinkler mellem vektorer bruger man cos-relationerne

Lone

p.s. tak for hjælpen i komplekse tal (jeg synes stadig det er underligt, men jeg kom ikke op i det så jeg er glad og tilfreds)

Svar #18
22. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Skalarproduktet mellem to vektorer kan defineres på to måder:
1) (a,b)*(c,d) = a*c+b*d
2) a*b = |a|*|b|cosv
Man kan med andre ord selv vælge sit udgangspunkt og fra dette bevise den anden formel.
Hvis du læser gymnasielærerbøger benyttes begge metoder.
Derfor kan skalarproduktet godt anvendes til at bevise cosinusrelationen med.

NB! En sjovt historisk anvendelse af sinusrelationen er tegning af landkort (triangulering).

Svar #19
23. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Ja, selvfølgelig kan man altid vælge sit udgangspunkt - men hvilken formel er intuitivt mest "korrekt"? Udfra et bredere matematisk perspektiv vil jeg holde på den definitionen

(a,b)*(c,d) = ac+bd,

eftersom denne danner baggrund for det gængse indre produkt i R^n. R^2 og R^3 er ganske vist vektorrum med indre produkt udfra definitionen med vinkler, men den går jo ikke generelt.

vh,

Anders

Svar #20
25. juni 2002 af SP anonym (Slettet)

Begge metoder er lige gode. Det afhænger af om man foretager en geometrisk (punkt 2) eller en analytisk (punkt 1) definition.

Skriv et svar til: Cosinus- og Sinusrelationerne

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.