Parameterfremstilling

To planer, der ikke er parallelle, skærer hinanden i en linie.

Ifølge opgaven ligger punkterne B, C og I i hovedbygningens tagflade, og punkterne E, D og C ligger på samme rette linie. Skæringslinien mellem hovedbygningens og tilbygningens tagflader er linien gennem punkterne C og I. Linien HI er parallel med linien ED, så punktet C kan bestemems som skæringspunktet mellem linien ED og hovedbygningens tagflade, og punktet I er skæringspunktet mellem linien gennem H parallel med ED, og hovedbygningens tagflade.

Jeg har forsøgt at forstå hvordan det skal gøres .. men forgæves. Jeg vil gerne forstå først "hvor" det er henne, denne planens ligning dækker sig på figuren (koordinatsystemet). Altså, hvilke punkter indeholder planens ligning helt præcis?

#2

Genlæs #1 og opgaveteksten. Hovedbygningens tagflade indeholder punkterne B, C og I .

Det er dog inkonsistent, idet punktet B(6; 4; 4,5) ikke tilfredsstiller den opgivne ligning for hovedbygningens tagflade.

Man kan måske ignorere koordinaterne for punktet B og antage, at ligningen for den plan, der indeholder hovedbygningens tagflade, er korrekt som angivet

y - 3z +10 = 0

#3

Så, dvs

Skæringspunkt mellem linje og plan (punkt c):

(x,y,z) = (0,3,-0.75) + t·ED = (6, 3t + 1 , 6 - 0.75t)

y - 3z + 10 = 0 ⇔ (3t + 1) - 3(6 - 0.75t) + 10 = 0 ⇔ t = 1.333

så, punkt C er (x,y,z) = (6, 3(1.333) + 1 , 6 - 0.75(1.333)) = (6, 4.999; 5.00025)

Skæringspunkt mellem linje og plan (punkt I):

(x,y,z) = (0, 1, 6) + t·ED = (0, 3t + 1, 6 - 0.75t)

og t må være den samme som før, dvs t = 1.333

så, punkt I er (x,y,z) = (0, 3(1.333) + 1, 6 - 0.75(1.333)) = (0, 4.999; 5.00025)

Jeg kan se, der er noget galt med den sidste punkt ...

#4

Hvis man ignorer punkt B, kan det ikke være muligt at have to punkter til at bestemme en ligning for planen. Altså, hvis man skulle lave en planens ligning, så skulle der som regel være tre punkter. Fordi, man bestemmer jo normalvektor hvis der havde været var to vektorer (mindst tre punkter) og uden de to vektorer, kan man ikke bestemme en ligning for planen.

#5

Den første del af linien

(x,y,z) = (0,3,-0.75) + t·ED = (6, 3t + 1 , 6 - 0.75t)

er forkert, da det skal være

(x,y,z) = (6, 1, 6) + t·ED = (6, 3t + 1 , 6 - 0.75t),

men højresiden er jo korrekt, og værdien for t er korrekt, t = 4/3 . Men du beregner så en forkert værdi for skæringspunktet C:

C(x,y,z) = (6, 1, 6) + (4/3)·ED = (6 , 1 , 6) + (4/3)·(0 , 3 , -0,75) = (6 , 5 , 5) eksakt. Du begår en fejl ved at benytte t = 1,333 i stedet for den eksakte værdi t = 4/3 .

Punktet I er så I(0 , 5 , 5) .

#6

Nej, men planens ligning er jo givet i opgaven. Jeg har blot gjort opmærksom på, at den givne ligning for hovedbygningens tagflade ikke stemmer overens med oplysningen om, at punkterne B, C og I ligger i planen, idet punktet B's koordinater ikke tilfredsstiller planens ligning.

#7

Det er rigtigt, at jeg har lavet det forkert .. Klokken er ret mange, og er træt ... -.-'

Men Torben, i opgave 1c står der jo, at jeg skulle bestemme en parameter fremstilling for skæringspunkter mellem de to bygninger. Vi har fundet punkt C og I. Men, hvad med parameterfremstillingen? Skal jeg bestemme en parameterfremstilling for linjen, der går gennem punkt C og I , eller hvad? Og, hvis vi går videre til den næste opgave, 1d, beder den nu om at bestemme koordinaterne til punkt C. Men punkt C var allerede bestemt før ...

#8

Okay,  B(6; 4; 4,5)  ,

y - 3z +10 = 0 ⇔ 4 - 3·4,5 + 10 = 0.5 ≠ 0.

Så, har du jo ret .. Hvad sker der for denne opgave?

#9

Ja. Skæringslinien mellem de to planer er jo linien, der indeholder punkterne C og I .

Man kunne i stedet have benyttet den i b) fundne ligning for tilbygningens plan og så fundet skæringslinien mellem de to planer. Tilbygningens tagfladeplan har ligningen

(3/4)y + 3z -(75)/4 = 0 , eller

3y + 12z -75 = 0 ,

sammen med hovedbygningens tagplan

y -3z +10 = 0 ,

giver jo

y = 5 , z = 5

svarende til parameterfremstillingen

(x,y,z) = (0 , 5 , 5) + t·(1 , 0 , 0) , t ∈ R

og så ville spm d) falde mere naturligt, idet C jo så må have koordinaterne (6 , 5 , 5) .

#10

Jeg synes det er fantastisk, at en sådan opgave med inkonsistente oplysninger, er blevet accepteret som eksamensopgave. Selv om oplysningen om punktet B ikke skal bruges til noget, bør oplysningerne ikke være inkonsistente. Det her er jo vildledende.