Matematik
Løsning til differentialligningen dy/dx=(x+1)/x*y
Opgaven er at bestemme den løsning til differentialligningen dy/dx=(x+1)/x*y, hvis graf går gennem punktet P(1,1)
Min bogs kapitel om differentialligninger opstiller følgende fire sætninger:
Fuldstændige løsninger til:
Typen y' = ky
Typen y'+ay=b
Typen y'+ay=h(x)
Typen y'+g(x)*y=h(x)
Problemet bør vel kunne omskrives til at passe på en af de ovenstående former? Hvorefter jeg så vil skulle indsætte x og y, isolere k og til sidst substituere k ind i foreskriften for den fuldstændige løsning?
Eller er jeg helt på afveje?
På forhånd tak for hjælpen :)
Svar #1
01. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
Løs differentialligningen ved separation af de variable
dy/dx = ((x+1)/x) · y ,
så
∫ (1/y) dy = ∫ ((x+1)/x) dx = ∫ (1 + (1/x)) dx
Svar #2
01. marts 2012 af kensing (Slettet)
dy/dx=(x+1/x)*y
∫ 1/y*dy= ∫ (x+1)/x*dx
lny = x+lnx+k
lny - lnx - x = k
Punktet x=1 , y=1
k = ln1 - ln1 - 1 = -1
Og substituere k ind i lny = x+lnx+k ?
Svar #3
01. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Jo, det kan man gøre. Men opskriv det færdige udtryk for y = ... til sidst.
Svar #4
01. marts 2012 af kensing (Slettet)
Så løsningen på opgaven er altså:
y = e^x+x-1 ?
Mange gange tak for de hurtige svar!
Svar #5
01. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Nej, det er ikke korrekt. Benyt regneregler for eksponentialfunktioner. Man har fra #2
ln(y) = x + ln(x) -1 , så
eln(y) = ex + ln(x) -1 = ex · eln(x) · e-1 , dvs
y = x · ex-1
Skriv et svar til: Løsning til differentialligningen dy/dx=(x+1)/x*y
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.