Matematik
Rangligning ... haster meget!
10. august 2005 af
Export (Slettet)
Hej,
Jeg har virkelig brug for et bevis for Rangligningen (gerne med relativt grundige argumenter), for der står nemlig kun nogle løse argumenter i form af dårlige eksempler i vores lineær algebra-bog. Og det er bare ikke vildt sejt, for hvis jeg nu trækker spørgsmålet "Dimension og rang" i morgen til eksamenen, så er Rangligningen jo helt central ... jeg er efterhånden ret desperat, så håber virkelig, at nogen (f.eks. 404error!!!) har tid og lyst til at hjælpe mig hurtigst muligt!
For en m x n-matrix A, hvorfor gælder der så, at
1. antallet af elementer i basen for søjlerummet (for A) er lig med antallet af elementer i basen for rækkerummet (for A); altså, hvorfor er dimensionen af rækkerummet lig med dimensionen af søjlerummet?
2. den fælles dimension i 1. er lig med antallet af pivotsøjler i den matrix, man får ved at rækkereducere A?
3. antallet af elementer i basen for nulrummet (for A) er lig med antallet af pivotfri søjler i den matrix, man får ved at rækkereducere A; altså hvorfor er dimensionen af nulrummet lig med antallet af pivotfri søjler i den rækkereducerede matrix?
Da rang(A) er den fælles dimension i 1. og nullitet(A) (er det ikke sådan man oversætter "nullity"?) er dimensionen nulrummet, er det jo ganske klart, at
rang(A) + nullitet(A) = antallet af søjler i A = n,
der som bekendt er Rangligningen, men jeg mangler som sagt beviser for de tre ovenstående påstande, der fører til konklusionen.
Jeg har virkelig brug for et bevis for Rangligningen (gerne med relativt grundige argumenter), for der står nemlig kun nogle løse argumenter i form af dårlige eksempler i vores lineær algebra-bog. Og det er bare ikke vildt sejt, for hvis jeg nu trækker spørgsmålet "Dimension og rang" i morgen til eksamenen, så er Rangligningen jo helt central ... jeg er efterhånden ret desperat, så håber virkelig, at nogen (f.eks. 404error!!!) har tid og lyst til at hjælpe mig hurtigst muligt!
For en m x n-matrix A, hvorfor gælder der så, at
1. antallet af elementer i basen for søjlerummet (for A) er lig med antallet af elementer i basen for rækkerummet (for A); altså, hvorfor er dimensionen af rækkerummet lig med dimensionen af søjlerummet?
2. den fælles dimension i 1. er lig med antallet af pivotsøjler i den matrix, man får ved at rækkereducere A?
3. antallet af elementer i basen for nulrummet (for A) er lig med antallet af pivotfri søjler i den matrix, man får ved at rækkereducere A; altså hvorfor er dimensionen af nulrummet lig med antallet af pivotfri søjler i den rækkereducerede matrix?
Da rang(A) er den fælles dimension i 1. og nullitet(A) (er det ikke sådan man oversætter "nullity"?) er dimensionen nulrummet, er det jo ganske klart, at
rang(A) + nullitet(A) = antallet af søjler i A = n,
der som bekendt er Rangligningen, men jeg mangler som sagt beviser for de tre ovenstående påstande, der fører til konklusionen.
Svar #1
10. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Den gode Emil har skrevet en note om rangligningen og det mere generelle tilfælde, dimensionsformlen (idet rangligningen er dimensionsformlen med V = ker(A) og W = søj(A)), der kan ses på http://home.imf.au.dk/emil/lineaer-algebra/rangligningen.pdf.
Svar #2
10. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Hmmm ... det var da en gang vrøvl, det med at rangligningen bare er dimensionsformlen med V = ker(A) og W = søj(A); jeg havde helt glemt snittet, som man jo lige skal tage højde for!
Skriv et svar til: Rangligning ... haster meget!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.