Matematik

Egenvektor

24. marts 2012 af cool10 (Slettet)

Hej..

Jeg har lidt svært ved at finde ud af hvordan man finde egenvektor for følgende matrix:

7- lambda -12 0

a:= 6 25- lambda 0

0 0 6-lambda

Egenværdierne er 6, 13 og 19.

Ved at A*X=0, men håber en af jer gider at forklare hvordan man laver det bare for den ene lambda, så jeg evt kunne klare det på de to andre lambdaer. (:

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. marts 2012 af wut123 (Slettet)

Du finder egenvektoren hørende til egenværdien $\lambda$ ved at løse ligningssystemet

$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{v} = \mathbf{0}$

Dvs. for egenvektoren $\lambda$ =6 skal du løse ligningssystemet med totalmatricen:

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1&-12&0\\ 6&19&0\\ 0&0&0 \end{matrix} \begin{vmatrix} 0\\0 \\0\end{bmatrix}$

hvor

$\mathrm{trap}(\mathbf{T}) = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{matrix} \begin{vmatrix} 0\\0 \\0\end{bmatrix}$

Så ligningssytemet har den fuldstændige løsning

$v = \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_2 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

så egenrummet er

$E_6 = \mathrm{span} \lbrace (0,0,1) \rbrace$

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. marts 2012 af wut123 (Slettet)

Der skulle naturligvis stå

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. marts 2012 af wut123 (Slettet)

"...for egenværdien $\lambda$ =6..."

Svar #4
25. marts 2012 af cool10 (Slettet)

Men jeg forstår stadigvæk hvordan du får det vektor v til [0,0,1]...

hvad mener du med trap(T)?

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. marts 2012 af wut123 (Slettet)

trap(T) er matricen T når den er bragt på trappeform (fuldstændigt Gauss-Jordan elimineret).

Det fremgår jo af det reducerede ligningssystem at

$v_1 = 0, \quad v_2=0$

og v₃kan være et vilkårlig reelt tal.

Svar #6
25. marts 2012 af cool10 (Slettet)

kan stadigvæk et helt forstår det:

når lambda er 13, giver det så følgende matrice:

1 2 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

hvorfor er det så det giver dette svar: ?

v = [-2,1,0]

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. marts 2012 af wut123 (Slettet)

Ja det er rigtigt.

Nu er det reducerede ligningssystem:

$v_1 + 2v_2 = 0$

$v_3 = 0$

Nu kan vi lade v₂være den frie parameter. Omdøb denne t, dvs v₂ = t så

$v_1 = -2t$

Så den fuldstændige løsning kan skrives

$\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2t\\ t\\0 \end{bmatrix} = t \cdot \begin{bmatrix} -2\\ 1 \\0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

Svar #8
25. marts 2012 af cool10 (Slettet)

hvordan kan man udfra egenværdierne og egenvektorerne afgøre om A er invertibel ?

Brugbart svar (0)

Svar #9
25. marts 2012 af wut123 (Slettet)

A er invertibel hvis og kun hvis alle dens egenværdier er forskellige fra 0

Svar #10
25. marts 2012 af cool10 (Slettet)

takker...

hvordan kan man udfra egenværdierne og egenvektorerne afgøre om der findes en egentligt vektor X, som opfylder, at AX=3X?

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. marts 2012 af Phenomenal (Slettet)

Hvordan skriver du matricerne på denne måde herinde?

Brugbart svar (0)

Svar #12
25. marts 2012 af wut123 (Slettet)

#10

Det er jo netop det egenværdiproblemet går ud på. Altså at undersøge om der findes skalar $\lambda$ og en egentlig vektor $\mathbf{v}$ således at

$\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

Hvis det kan lade sig gøre at finde en sådan skalar og vektor, kaldes $\lambda$ en egenværdi for $\mathbf{A}$ med tilhørende egenvektor $\mathbf{v}$

#11

Det er skrevet i LaTeX

Se her

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=715313

Eller du kan skrive det ind her

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

og så kopiere det ind som billede

Svar #13
26. marts 2012 af cool10 (Slettet)

Dvs. at der findes ikke en egenvektor til at opfylde x, da 3 ikke er en egenværdi. ..
i am right ?

Brugbart svar (0)

Svar #14
26. marts 2012 af wut123 (Slettet)

Præcis, der findes ikke en egentlig egenvektor

Svar #15
26. marts 2012 af cool10 (Slettet)

Mange tak for hjælpen...

Det var sku dejligt at du gad at hjælpe (:

Skriv et svar til: Egenvektor

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.