Rumfang og overfladeareal

Den opgave, du henviser til, drejer sig om at beregne rumfang af en glasvase. Hvor har du træ i den vase?

Rumfanget af vasens materiale findes som forskellen mellem rumfang af to omdrejningslegemer.

Linket i opgave henviser til et 4 år gammelt dokument på en service for midlertidig opbevaring. Sådanne link skal man ikke forvente at virke efter så lang tid.

Jeg har ikke brug for hjælp til at beregne rumfanget det kan jeg godt finde ud af. Man skal bare bruge formlen for et omrejdningslegeme. Jeg får at rumfanget er ca. 28. Jeg har brug for hjælp i b) hvor jeg skal beregne hvor meget glas (ikke træ som jeg skrev) den består af.

#2

Og som jeg skrev i #1 beregnes rumfanget af vasens materiale som forskellen mellem to rumfang.

Ja Rumfang af f(x) minus rumfang af g(x). Husk at g(x) kun går fra 1 < x< 10.

svar # 2. Jeg tror du nok blander Areal og Rumfang sammen!

Rumfang af f(x) = π * ∫(f(x)^2)

Det har jeg gjort i a) så jeg skal faktisk gøre det i b) .. hvad skal jeg så gøre i a) ?

I et koordinatsystem med enheden 1 cm på begge akser er en punktmængde M afgrænset af førsteaksen, andenaksen, linjen med ligningen x=10 og graferne for funktionerne
f og g, hvor
f(x)= 1,5 + 4sqr(x)
g(x)=sqr(x-1)

Formen af en 10 cm høj glasvase fremkommer ved, at punktmængden M drejes 360 grader omkring førsteaksen.

a) Bestem, hvor meget vand, der kan være i vasen
b) Bestem, hvor meget glas vasen består af

     a)
             V_vase = π·₁∫¹⁰(g(x))²dx = π·₁∫¹⁰(x-1)dx = π·[(1/2)x²- x]₁¹⁰ =

                          π·((1/2)·10² - 10 - ((1/2)·1²- 1)) =

                          π·(50 - 10 - ((1/2) - 1)) =

                          π·(40 + (1/2)) =

                          (81/2)·π ≈ 127,235 cm³ = 127,235 mL

     b)
             V_glas = π·₀∫¹⁰(f(x))²dx - V_vase  = π·₀∫¹⁰(1,5 + 4√(x))²dx = π·₀∫¹⁰(2,25 + 12√(x) +16x)dx - V_vase =

                          π·[(2,25x + 8x^3/2 + 8x²]₀¹⁰ - V_vase =

                          π·(2,25·10 + 8·10^3/2 + 8·10² - (2,25·0 + 8·0^3/2 + 8·0²)) - V_vase =

                          π·(22,5 + 8·10^3/2 + 800) - V_vase

                          π·(822,5 + 8·10^3/2) - ((81/2)·π) =

                          π·(822,5 - 40,5 + 8·10^3/2) =

                          π·(782 + 8·10^3/2) ≈ 3.251,49 cm³

korrektion til linje 17

V_glas = π·₀∫¹⁰(f(x))²dx - V_vase  = π·₀∫¹⁰(1,5 + 4√(x))²dx - V_vase = π·₀∫¹⁰(2,25 + 12√(x) +16x)dx - V_vase
                                                                                     ^{som var
                                                                                                                 smuttet}
                                                                                                             

#8: Jeg forstår ikke hvordan jeg kan bestemme hvor meget glas vasen består af ved at beregne forskellen på f(x) og g(x) omdrejningslegem .. er det fordi det svarer til vasens tykkelse ? Hvordan kan man enlig vide det? Og skal man normalt ikke beregne overfladearealet når der står noget med hvor meget en materiale x en genstand består af?

     en graftegning på din grafregner
     vil kunne vise dig "glastværsnittet",
     som så drejes 360º om x-aksen,
     og dette omdrejningslegeme udgør
     glasvolumenet.

Jeg får at den kun består af 143 cm³ glas, når jeg bruger en matematik program :)

Materialeforbruget af en ting er jo et Rumfang. Rumfanget af f.eks. en tom kasse uden låg er altid den 'store' kasse minus den lille kasse indeni, 'luften'. Ligeledes med vasen. Du tager det store rumfang og trækker luften indeni fra.

f(x) er i opgaven kanten af den store ydre form, mens g(x) jo er kanten af den indre form (luften).

Formlen for rumfang af et omdrejningslegeme er:

  π * ∫ f(x)² dx

Rumfanget af den ydre form minus den indre luft er altså:

   π * ∫ f(x)² dx   -   π * ∫ g(x)² dx

 Integralet skal tages fra nul til 10. Ved forskriften for g(x) ser man at x>1. Integralet af g(x) skal altså tages kun fra 1 til 10. Det kan man også se når man tegner de to grafer. Mellemrummet mellem graferne er et glas-areal i 2D. Drejer man dette areal får man en 3D vase. Tykkelsen af glasset er f(x) - g(x). Tykkelsen varierer afhængig af forskrifterne, derfor skal man bruge formlen for omdrejningslegeme.

De bestemte integraler i formlen ovenover giver Rumfanget af glas:

    3378,7      -       127,2  =    3251,5     (det er i cm³)

Kan jeg få forklaret, hvordan  "π·0∫10(1,5 + 4√(x))2dx" bliver til π·0∫10(2,25 + 12√(x) +16x)dx ?

#14

jvf. kvadratsætningen
                                                       

Jeg bliver nødt til at spørge om noget igen. 

12√(x), vil du være sød at forklare mig integrationsreglen, som får det til at blive 8x^3/2?

På forhånd mange tak for hjælpen

#16

Den generelle regel for stamfunktion til en potens er

        ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + k , n ≠ -1 .

Man har så

        ∫ 12·√x dx = ∫ 12·x^1/2 dx = 12·(2/3)·x^3/2 + k = 8·x^3/2 + k .