Bevis for (a^x)'=ln(a)*a^x

Du skal have fat i reglerne for eksponential-funktionen og den naturlige logaritme. Forstår du de regler så kan du nemt bevise det du søger :) 

1. e^x og ln er inverse funktioner, jvf. definitionen på en logaritme.

2. Følger af 1) og reglen om at   (a^b) ^c   = a ^(b*c)

Som jeg sagde tidligere kig godt i din formelsamling. Der står alt hvad du skal bruge.

Okay, prøver jeg lige :)

Så når jeg skal begrunde a=e^ln(a) for alle positive tal a, kan jeg så bare sige at det er en regneregel?

Nej jeg tror ikke det er helt så simpelt, hvis opgaven lyder du skal begrunde det. Hvor dybdegående begrundelsen skal være afhænger af dit pensum. Bemærk endvidere at du ikke bliver bedt om noget bevis, men en begrundelse. Derfor ville mit gæt være at en reference til en regneregel er utilstrækkelig, du skal demonstrere at du har forstået den. Den nemmeste måde at gøre dette på er ved at vise du har forståe #2 at e^x og ln x er inverse funktioner og dette kan med rette gøres med en forklaring der støttes af en graf i samme koordinatsystem af ln x og e^x.

Du skal vise at

Du ved at der er identitet som siger

Du kan derfor tage den afledte på begge sider

Ved at bruge sammensat differentation så

Hvilket giver højre side

Hvilket også kan skrives som (ved at genindsætte den indre funktion)

Sådan!