Bestem areal

Du har en fejl. (3/2)(1/3)² = 1/6  Du har formodentlig ellers lavet en tastefejl

Så er det derfor :-)

Der er en anden ting som undre mig, og det er hvordan man når til brøken ((72-27-24+1)/18)-ln3? 

Det er sat på en fælles brøkstreg. For at tage det første tal 4 = 4*18/18

Siger du at man ganger 4 med 18 for at sætte leddene på fælles brøkstreg, med det resultat at 18 kommer ned i nævneren og 72 op i tælleren? Men hvis jeg har forstået det rigtigt, skal man så ikke også gange de andre led med 18? Således bliver -3/2 til -27, -4/3 til -24, men så undre det mig, hvor 1/6 bliver af, da det ganget med 18 bliver til 3, hvilket ikke forekommer nogen steder, i stedet står der et 1 tal som jeg ikke ved hvor kommer fra, og så undre det mig også hvordan -ln1/3 bliver til-ln3?

Du skal gange det med tal så nævneren bliver 18. Det andet led er 4/3. Hvis du skal have 18 i nævneren skal du forlænge med 6 da 6*3 = 18

Hvis jeg forlænger med et tal, skal det så både ganges ind på tælleren og nævneren? Det ser det i hvert fald ud til, fx med -4/3, da det skal give -24 i tælleren og 18 i nævneren, skal der ganges med 6 både i tælleren og nævneren. Og det samme vil gælde for -3/2. Men når jeg så kigger på 1/6 igen, så skal 6 i nævneren ganges med 3 for at blive 18, hvilket så også skal ske i tælleren, hvor der står et 1 tal som bliver til 3, men det forekommer jo ikke nogen steder i ((72-27-24+1)/18)-ln3? Jeg kan stadig heller ikke se hvordan -ln1/3 bliver til -ln3? 

#7

Når man ganger et tal b med brøken a/a = 1 ændrer man ikke på værdien af produktet:

b = b·1 = b·(a/a) = (b·a)/a

Vi har

4 -3/2 -4/3 +1/18 +ln(1/3) = 4·(18/18) - (3/2)·(18/18) - (4/3)·(18/18) + 1/18 - ln(3)

                                              = (4·18 - 3·9 -4·6 +1)/18 -ln(3)

                                              = (72 -27 -24 +1)/18 -ln(3)

Vedrørende logaritmen, benyttes det jo, at ln(1/3) = -ln(3) .

#8 Beklager, der skal ikke stå 1/18, men 1/6 i 4 -3/2 -4/3 +1/18 +ln(1/3), så det bliver til 4 -3/2 -4/3 +1/6 +ln(1/3) i stedet. Det vil sige at man ganger 18 med hvert led i 4 -3/2 -4/3 +1/6 +ln(1/3)? 

#9

Ja, OK. Jeg havde overset korrektionen i #1. Men det ændrer jo ikke på fremgangsmåden. Så får man i stedet

4 -3/2 -4/3 +1/6 +ln(1/3) = 4·(18/18) - (3/2)·(18/18) - (4/3)·(18/18) + (1/6)·(18/18) - ln(3)

                                              = (4·18 - 3·9 -4·6 +3)/18 -ln(3)

                                              = (72 -27 -24 +3)/18 -ln(3)

                                              = (75 - 51)/18 -ln(3)

                                              = 4/3 - ln(3)

Man ganger ikke med 18. Man forlænger med 18, dvs. man ganger med 18/18 .

Og at forlænge med 18, fx i 4·(18/18) vil sige at man ganger 4 med 18 i tælleren og lader 18 i nævneren stå. På den måde får man 72/18. Hvis så man kigger på - (3/2)·(18/18) skal man tænke på nævneren, der skal blive til 18, der derfor skal ganges med 9, hvilket den også skal i tælleren, som dermed bliver til -27. Leddet - (4/3)·(18/18) har nævneren lig 3 som ganges med 6, hvilket også sker i tælleren, deraf de -24, og så har man leddet + (1/6)·(18/18) der ganges med 3 i nævneren, deraf 3 tallet (((72 -27 -24 +1)/18 -ln(3), derfor må det have været endnu en fejl, at der står et 1 tal og ikke 3 i mine beregninger), så undre det mig desværre stadigt at -ln1/3 bliver til -ln3?

#11

Læs sidste linie i #8. Der ikke tale om, at -ln(1/3) bliver til -ln(3), men om at ln(1/3) = -ln(3) . Man benytter jo en kendt regneregel for logartimer:

ln(1/3) = ln(1) - ln(3) = -ln(3)

Okay, jeg siger tak for hjælpen!

Hvis så jeg skal finde rumfanget af det fundne areal, skal jeg benytte formlen V = π_a∫^b(f(x))² dx, og skal vel blot indsætte f(x) = 3x + 1/x med grænseværdierne, jeg brugte ovenover. Integral ligningen kommer så til at se sådan her ud:

V₁ = _1/3∫¹(3x + 1/x)² dx. Det resultat der findes frem ved de beregninger, skal det slut trækkes fra et andet resultat, en ligning der hedder V_cyl = (2/3)·4²·π = (32/3)π. Hvorfor er det sådan, jeg skulle mene at det var nok med ligningen V_1, når det er den som står i formel bogen. Har det noget at gøre med linjen y = 4, og i så fald, kan du fortælle hvad? 

#14

Det er noget vrøvl at tale om rumfanget af et areal. Man kan bestemme rumfanget af et omdrejningslegeme, der fremkommer ved at rotere grafen for en funktion omkring en akse. Hvorledes rumfanget skal beregnes kommer an på præcist hvorledes det legeme er defineret, hvis rumfang skal beregnes. Det kræver således indsigt i hele opgavens formulering at give et præcist svar.

En funktion f er bestemt ved

                   f(x) = 3x + 1/x,   x>0.

Grafen for f og linjen med ligningen y = 4 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af M. (Det var den opgave som blev løst ovenstående)

b) Bestem rumfanget af det omdrejsningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360^º om førsteaksen.

Og så er det jeg undre mig over hvorfor det ikke kun er funktionen V_1, der er nødvendig for at finde det rumfang. Jeg kan ikke rigtig se meningen med V_cyl, selv om den tydeligvis skal indgå i det samlede regnestykke, hvilket jeg ved da jeg sidder med hele løsningen?

#16

Punktmængden M er jo arealet mellem grafen for f(x) og den rette linie y = 4. Derfor skal rumfanget af omdrejningslegemet, der fremkommer ved ar rotere M om x-aksen, jo findes som differensen mellem rumfanget af cylinderen med radius 4 og højde (1 - 1/3) , og så rumfanget af volumenet under den drejede graf for f(x) .

Integralet V₁ giver jo kun rumfanget af volumenet under den drejede graf for f(x). Man skal bestemme rumfanget mellem denne graf og den ydre cylinder. Det burde også fremgå klart, hvis du har lavet en tegning.

Umiddelbart når man kigger på en tegning, skulle man tro at 4 var højden og (1 - 1/3) er radius.

#18

Når man som her i opgaven roterer omkring x-aksen, er det jo x-aksen, der kommer til at svare til cylinderens højdeakse. Cylinderen ligger jo ned. Din forklaring ville være korrekt, hvis der blev drejet omkring den lodrette linie x = 1/3 .Men her drejes der jo omkring den vandrette x-akse, linien y = 0 .

For det ser ud til at cylinderen står op, når man kigger ind på tegningen. Men det må være som du siger, at den ved at roterer omkring x-aksen, hvilket den gør, da de to skæringspunkter mellem grafen og linjen via cylinderen kommer ned på x-aksen. Dermed er højden, den længde cylinderen udspænder på x-aksen, differencen mellem de to skæringspunkter.