svær grænseværdi

iⁿ bliver ved med at være omkring i -1, -i og 1. Nævneren bliver bare større og større

|iⁿ| = 1 så |iⁿ/n| = 1/n -> ? for n ->∞

Jeg skal bevise grænseværdien ved hjælp af epsilon-delta beviset.. 

Og så skal jeg vise at følgen {i^n} går mod et tal K for n mod uendelig og angiv K. 

Hvis i er det komplekse tal er det ikke rigtigt at iⁿ -> ∞ for n -> ∞, så det må betyde noget andet. Kan vi ikke få hele opgaven

#3 Lad epsilon>0 være givet og vælg N>1/epsilon, da er for alle n≥N

|i^n / n - 0| = |i^n|/n = 1/n ≤ 1/N < epsilon, som Peter Lind også skriver i #2.

Opgaven er bare at jeg skal bestemme grænseværdien. Der står ikke mere end det og ja i er bestemt sådan at i^2=-1,

Et sådant K eksisterer ikke, og følgen går ikke mod ∞. Din talfølge {iⁿ} divergerer! 

Lad S_{n ⁼} {iⁿ}, j ∈ C og vælg ε>1/2. Betragt nu de to tilfælde:

I: Lad Re(j)≥0, og vælg N (n≥N) således, at S_n=-1. (Dette er altid muligt, at S_{4k+ 2}  = i^4k+2=-1 for alle k ≥ 0).

Da er |S_n-S| = |S+1| ≥ 1 > 1/2

II: Lad Re(j) < 0 og  vælg N (n≥N) således, at S_n=1 = 1. (Dette er igen altid muligt, at S_4k=i^4k=1 for alle k>0).

Da er |S-S_n| = |S-1| ≥ 1 > 1/2.

For elementerne i talfølgen {iⁿ} gælder der jo, at de bliver ved med at alternere mellem i, -1, -i og 1 . Der gælder derfor, at

|a_n+1 - a_n| = √2 for alle n , og talfølgen er derfor ikke konvergent.