Månedens MAT-OPGAVE (jan.), spg....

Elsker navnet på din vedhæftede fil.

Benyt sætningen,

vinkelhalveringslinjerne skærer i centrum for trekantens indskrevne cirkel.

radius af indskrevne cirkel = kvrod( (s-a)(s-b)(s-c)/s )hvor s er den halve omkreds

#1
 

Det ville jeg også have sagt, men så sagde du det først XD

#1 haha :D

#2 og #3 
Men det jeg har gjort er det forkert..?

En enklere formel for den indskrevne cirkels radius er (for en trekant ABC)

1/r = 1/h_a + 1/h_b + 1/h_c

Da trekant ABD er retvinklet med kateterne 6 og 8 (og dermed hypotenusen 10) , er den tredje højde h_a = 6·8/10 , hvorfor

1/r = 1/6 + 1/8 + 10/(6·8) = (8 + 6 + 10)/(6·8) = 24/48 = 1/2

hvorfor r = 2 . Der gælder derfor

|KL|² = (8 - 2·r)² + (6 - 2·r)²

#6

Ligningen

6-r=8-r

har ingen løsning. Hvordan får du r = 2 ud af den ligning? Og hvor fik du overhovedet den ligning fra?

6-r=8-r <=>

6-r+r=8-r+r<=>

6=8

#9

Ja, netop. Den ligning har ingen løsning. Og ligningen har ingen sammenhæng med opgaven.

Kan se at der er noget meget vigtigt, som jeg har overset og har lavet nogle fejl, som resulteret i det her xD

Men har lavet den nu, TAK!

Nogen gange trænger man til at komme væk fra computerskærmen for at resete sin hjerne til normalt fungerende :D

Nu er jeg lidt bagklog med hensyn til den her opgave...

Hvis man bare vidste lidt om indskrevne cirkler kunne man tænke sådan:

Der er to cirkler. (lad os se bort fra trekanterne)

de to cirkler rykker vi så de akurat tangerer hinanden. Nu har vi to cirkler ved siden af hinanden. 

Vi sætter nu en lodret streg gennem centrum på begge cirkler.

Man har nu en firkant som er delt op i 4 lige store dele. 

så har vi 8:4=2 

Dvs. r=2 !

(Jeg er ikke det bedste til at få min tanker på skrift....)

Giver det ikke meget mening? :)

#13

Det giver ikke ret meget mening. Hvor kommer 8 og 4 fra? Du ser bort fra trekanterne og får en firkant?

Det ser ud som om du benytter, at r = 2 til at vise, at r = 2?

Den ene side er 8 og der er fire halve cirkler... :)

så må da summen af de fire halve cirklers radius give 4...

Her er en anden måde at løse opgaven på.

Kalder vi rektanglets sidelængder for a og b , og radius i en af trekanternes indskrevne cirkel for r, ser vi, at der må gælde

|KL|² = (a -2r)² + (b -2r)²

Udnytter vi, at centrum for trekantens indskrevne cirkel ligger på vinkelhalveringsliniernes skæringspunkt, ser vi, at hypotenusen i en af de to retvinklede trekanter er sammensat af de to stykker (a-r) og (b-r), hvorfor der må gælde, at

(a-r) + (b-r) = √(a² + b²) , og dermed

2r = (a+b) -√(a² + b²)  .

Det følger da, at

a - 2r = -b + √(a² + b²)  og  b - 2r = -a + √(a² + b²) , hvorfor

|KL|² = (a -2r)² + (b -2r)² = a² + b² +b² -2b√(a² + b²) + a² + b² + a² -2a√(a² + b²) 

          = 3(a² + b²) -2(a+b)√(a² + b²)

          = c·(3c -2(a+b)) ,

hvor c = √(a² + b²) er længden af diagonalen i rektanglet.

#15

Du talte om at forskyde cirklerne og at se bort fra trekanterne. Hvordan opretholder du så sammenhængen med 8?

#18

Altså jeg mente at tage diagonalen væk så der er kun 2 cirkler og en firekant. 

Det var lidt dumt at sige, da du ikke kan se, hvad jeg tænker.

#18 

Vi beholder stadigvæk sider, fjerner kun diagonalen, så vi fjerner de to trekanter