Stamfunktion

hejsa.

Mener du:

en stmafunktion til funktionen:

4^x/(4^x+5) ????

//sentinox

" har fået 5/ln4 "

Som resultat af hvilken beregning? Vi er nødt til at vide, hvad du bliver bedt om i opgaven.

//Epsilon

Skal finde stamfunktionen til 4^x/(4^x+5) de +5 er ikke opløftet...

Mine udregninger:
g(x) = 4^x +5 g'(x)= 4^x*ln4
f(x) = 4^x F(x) = 4^x/ln4

4^x/ln4 * 4^x+5 - S4^x/ln4 *4^x*ln4 =
(4^x)²+5/ln4 - S(4^x)² =
5/ln4

Men er det rigtigt?

#3: Nej; du kan tydeligvis se, at det _må_ være forkert; en stamfunktion kan _kun_ være konstant, hvis integranden er nulfunktionen. Men det er ikke tilfældet her.

Partiel integration er ikke nogen specielt god idé; du overser helt, at du skal integrere f(x)/g(x), _ikke_ f(x)*g(x), som du ellers er i færd med.

Man kan relativt let komme igennem med substitutionen

t = 4^x + 5 => dt/dx = 4^x*ln(4)

Benyt dette til at bestemme integralet

S[4^x/(4^x + 5)]dx

//Epsilon

ok...men hvornår ved man om man skal bruge sub eller partiel?

#5: Substitution er i reglen en god idé, hvis man i integranden kan spotte en funktion, hvis differentialkvotient (eventuelt på nær en konstantfaktor) også indgår i integranden.

Ved partiel integration skal man sikre sig, at integranden kan skrives som et produkt af to funktioner f og g, hvoraf førstnævnte er integrabel (læs: har en stamfunktion) og sidstnævnte er differentiabel. Endvidere skal F(x)*g'(x) også være integrabel. I typiske opgaver er dette dog sjældent noget problem.

Det gælder da om at vælge f og g så tilpas smart, at integralet

S[F(x)*g'(x)]dx

(det andet led i S[f(x)*g(x)]dx) er relativt let at evaluere; dvs. at man relativt let kan finde en stamfunktion til F(x)*g'(x). Ofte vil man ved partiel integration opdage, at mens det ene valg af f og g ikke volder besvær, da kan det modsatte valg volde endog store vanskeligheder. Derfor: vælg med omtanke.

//Epsilon