skårsten

opgaven er fra din side meget vagt defineret, venligst opskriv opgaven ordret, meget gerne med en tegning.

//sentinox

okay;

hvis du forestiller dig en skorsten som er 30 meter højt, som skal væltes (det kan være ligegyldigt hvor højt) det forudsættes så at den vælter som en stang med centrum af for foden af skorstenen. Man kan forestille sig en flagstang som kun et hængslet i bunden og så væltes. Det er ikke opgaven som sådan men princippet i hvordan man beregner fald tiden. Kender man højden af "stangen" (skorsten) kan man beregne vinkelhastigheden og farten af den. Vinkelhastigheden finder man jo ved en energibetragtning om Epot=Erot, derefter kan man så finde hastigheden v=omega*r, hvordan kommer jeg så videre herfra for at finde hvor langt tid det tager inden skorstenen ligger ned?

Er det en opgave du har i skolen ? Jeg
ville gribe sagen således an:

1) Lad os først finde vinkelhastigheden idet skorstenen rammer jorden. Da den - når bortses fra luftmodstand - bevæger sig i et konservativt tyngdefelt er der energibevarelse. Fastlægges nulpunktet for den potentielle energi i jordhøjde er altså den potentielle energi før faldet lig den kinetiske energi idet den rammer jorden.

Lad L være skorstenens højde og M dens masse. Antag envidere massen er homogént fordelt, altså at massen er M/L per længdeenhed. Den potentielle energi er da

L
Epot = S[(M/L)*g*s*ds] = MgL/2
0

svarende til at hele massen er samlet i
massemidtpunktet i højden L/2. Den
kinetiske energi (eller rotationsenergi som du kalder det) er defineret som skalarproduktet mellem et masseelements hastighedsvektor v og dets impulsvektor p = (M/L)v. Da hastigheds- og impulsvektor har samme retning er skalarproduktet blot et almindeligt 'gange'. Farten v er som du nævner r*omega, hvor r er højden og omega er vinkelhastigheden i nedslaget. Integration giver nu

L
Ekin = S[(M/L)*(r*omega)^2]dr
0

= (M*(L*omega)^2)/3

Sættes Ekin=Epot fås

omega = (3/2)*(g/L)

i nedslagsøjeblikket.

2) Faldtiden kan bestemmes ud fra impulsmomentsætningen som blot er en generalisering af Newton II gældende for stive legemer. Den udtrykker at

I*dw/dt = tau (*)

hvor I er skorstenens inertimoment om omdrejningspunktet (= (ML^2)/3) og tau
er summen af kraftmomenterne om omdrejningspunktet. w(t) betegner skorstenens vinkelhastighed som funktion af tiden (og altså ikke blot i nedslagspunktet som fundet ovenfor). Hvis vi indfører en vinkel phi(t) regnet fra skorstenens oprindelige lodrette position ned til den øjeblikkelige position under falder, så vil w = dphi/dt.

Summen af kraftmomenterne findes ved at summere kraftmomenterne over de enekelte massedele. Den eneste kraft, der giver et moment om omdrejningspunktet er tyngdekraften. Dens 'arm' er r*cos(phi) hvor r er afstanden langs skorstenen ud til masseelementet. Når skorstenen befinder sig i vinklen phi er det totale kraftmoment derfor

L kraft * arm
tau = S[(g*(M/L)) * (r*cos(phi))]dr
0

= MgLcos(phi)/2

igen svarende til at al massen er samlet i højden h/2. Indssættes i (*)
fås nu

(ML^2)/3 * dw/dt = MgLcos(phi)/2

dw/dt = d^2phi/dt^2 = (3/2)*(g/L)*cos(phi)

Denne ulineære, anden-ordens differentialligning skal løses numerisk (muligvis findes en analytisk løsning i en formelsamling). Nedslagstidpunktet bestemmes så det den værdi af t, hvor
phi(t) = pi/4.

...hov, skrivefejl. I mit forrige indlæg skal cos overalt erstattes med sin. Altså til slut

dw/dt = d^2phi/dt^2 = (3/2)*(g/L)*sin(phi(t))

Det er en opgave for hele året som vi har fået i fysik A, min lærer kan nemlig ikke regne den ud, hehe. Så ville lige spørge nogle kloge hoveder!