Matricer

Jeg viser dig hvordan du finder den inverse til A. Opstil en matrix hvori A og enhedsmatricen indgår. Opnå rækkereduceret echelonform på A, samtidig med at du laver nøjagtigt de samme operationer på enhedsmatricen. Når du er færdig, har du en enhedsmatrix der hvor A oprindeligt stod, og A^-1 der hvor enhedsmatricen stod.

Hvis A·A^- = I  så har du regnet rigtigt.

Nu spørger du specifikt til opg. 2.17 - det er fuldstændig samme fremgangsmåde.

Hvorfor det er gældene kan du jo læse i din bog.

Den inverse matrix til en kvadratisk matrix af lav dimension kan beregnes ved hjælp af underdeterminantmetoden. Her kan du se det eksplicitte udtryk for en 3x3 matrix: http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html

Matricen A i Opg 2.17 er en øvre trekantmatrix, så dens determinant |A| beregnes som produktet af diagonalelementerne . Man finder, at

(A²)^-1 = (A^-1)² , og at (A³)^-1 = (A^-1)³ .

Endvidere er (B^T)^-1 = (B^-1)^T

Nu ved jeg ikke hvilken metoder du har lært; men her er da noget du kan bruge.

Den første søjle i den inverse til matricen ganget på matricen skal give (1, 0, 0) skrevet som søjle e₁. Du kan altså finde den første søjle s₁ som løsning til ligningen A*s₁ = e₁,  Tilsvarende fælder for anden og tredie søjle altså generelt  A*s_i = e_i. Dette kan bekvemt gøres ved at løse ligningerne samtidig ved brug af Gauss elimination. Trinene i elimineringen er jo kun afhængig af A

Dvs. den inverse matrix for A er 1?

eftersom vi siger 1*1*1 da det er en øvre trekantsmatrix?

eeeeeeeej, jeg kan ikke finde ud af at det her selvom det I skriver... giver mening, jeg forstår det.. men jeg er bare så dårlig til at gribe det her an...

#4

Nej, den inverse matrix til A er en ny 3x3 matrix A^-1 med den egenskab, at

A · A^-1 = E ,

hvor E er den identiske 3x3 matrix (E = diag(1,1,...,1)).

Fra linket i #2 har man

hvor |A| = det(A) . Her kan man indsætte elementerne fra matricen A og så udregne alle 2x2-determinanterne.

Det vil jeg lige prøve for vil virkelig gøre alt for at forstå fremgangsmåden

Dvs. A^-1 = 1/|A| |1 -1 0 over 0 1 -1 over 0 0 1|

Hvad kan jeg gøre efterfølgende

#8

Først udregner man determinanten af A :

|A| = det(A) = 1 (da A er en øvre trekantmatrix med lutter 1-taller i diagonalen).

Dernæst går man i gang med at udregne de 9 underdeterminanter, for eksempel, determinanten øverst til venstre:

a₂₂·a₃₃ - a₂₃·a₃₂ = 1·1 - 1·0 = 1

Indtil da er jeg med - men hvad er dernæst, når man har regnet ud for de 8 andre:)?

#10

Så har du jo alle elementerne i matricen A^-1 .

Og på den måde har jeg vel den inverse matrix ?

dvs. A^-1 =(alle 9 underdeterminanter)

Og jeg skal vel også bruge samme metode til at finde den inverse matrice for B

#13

Ja, netop.

men bare for afklarhed

skal jeg sige: 1/ | B| * hver af underdeterminerne for at finde elementerne i matricen A^-1 

#15

Ja, den er jo en faktor på hele matrice. Du mener nok B^-1 her .

Det er rigtigt, super!!

Men jeg ved ikke om du kan tjekke om mine resultater indtil nu er rigtige - skriver dem lige ind, når jeg er færdig med den her også - håber virkelig du er online så længe!!! For jeg VIL OG MÅ forstå at lave den her type, når det er min svage side

Hvorfor har jeg fået en så høj determinant for b = 43

#18

Sikkert fordi du ikke beregner den korrekt.

Man får

det(B) = 1·(6·3-1·8) - 2·(3·3-3·8) + 3·(3·1-3·6)

            = 18 -8 -2·3·(-5) + 3·3·(-5)

            = 10 + 3·(-5)

            = 10 -15

            = -5

Brugte bare definitionen der stod i bogen for 3. ordens determinanter

B^-1  = -2 -3 3 over 3/5 6/5 0 over 2/5 -1/5 0

Kan det være rigtigt?