Partikulære løsning

Jeg gætter på at en løsning er:  -exp(x) og sætter ind:

(-exp(x)) ' -2*(-exp(x)) = exp(x)

så det er en løsning. for at den skal opfylde y1(0)=1 skal vi prøve at lægge 0 til ligningen:

y ' -2*y = exp(x) + 0

Vi har allerede den løsning der giver exp(x), så skal vi have den der giver 0, altså løses ligningen:

y ' -2y = 0  et godt gæt er exp(2x) med en arbitrær konstant ganget på så  c1*exp(2x)

sætter ind:   (c1*exp(2x))' - 2*c1*exp(2x) = 2c1*exp(2x) -2*c1*exp(2x) = 0

Så den var god.

Du må altid lægge 0 til en ligning så løsningen er:

c1*exp(2x) -exp(x) = y(x)

For at y(0)=1  skal vi   have :  c1*exp(0)-exp(0) = y(0) <=>  c1-1 =0 <=> c1=1

så svaret er:  c1*exp(2x) -exp(x) = y(x)

Men ja hvis du ikke forstår det så brug panserformlen hvor c svarer til c1 og det er den der skal opfylde at y(0)=1

Tak for svaret. Den metode du har anvendt liger den såkaldte "nålestiksmetode". Jeg synes det kan være svært at afgøre hvilken metode man skal bruge ud fra en given funktion :)

Den kender jeg ikke, jeg ville bare have dig til at tænke over hvad en differentialligning er og hvordan man kan manipulere med den.

Desuden synes jeg at formen var oplagt til at gætte en løsning, men panserformlen ville virke.

Et follow up. Metoden er fri med mindre andet er angivet. Bare tag den du har lettest ved, og tag den der er rigtig for det givne problem.

Det vil sige her havde vi en lineær inhomogen 1. ordens ordinær differentialligning, og panserformlen ville være god.

Gættemetoder er altid gyldige, men det er svært at finde et godt gæt nogle gange.

Havde den ikke været lineær måtte vi dog ikke lægge lægge de to løsninger sammen (det hedder superpositionsprincippet hvis det interesserer dig, det er meget nyttigt)

Panserformlen: y`+f(x)y=g(x) hvor y`-2y = e^x

f(x) = -2, F(x) = 2x og g(x) = e^x

Fuldstændige løsning: y = e^-F(x)∫ e^F(x)g(x) dx = e^2x∫ e^2x* e^x dx = e^2x ∫ e^3x dx = e^2x(e^3x/3) = e^5x/3

Kan det passe indtil videre?

Hvor er din arbitræte konstant?

Du kan også se at denne løsning ikke passer ved indsætning:

y '  = 5/3e^5x

så  5/3e^5x-2/3*e^5x = e^x

det er jo et falsk udsagn.

Du skal altid når der står et exp(a*x) på h'øjresiden have en løsning med samme a

Fordi den afledede af exp(ax) = a*exp(ax)

Altså f(x) = -2,  F(x) = - 2x, g(x) = exp(x)

Så y = exp(-F(x))* (  ∫ e^F(x)*g(x) dx + c1)

okay hvis c lægges til ender jeg med følgende udtryk - men er sikker på det ikke er det søgte udtryk:

e^2x(e^3x+3cx)/3

Nej, der står  exp(..)(integral ... dx + c1)

Så c1 skal ikke differentieres. Desuden mangler du et minus i din F(x)

y = e^2x∫e^-2x* e^x dx = e^2x∫ e^-x  dx = e^2x(-e^-x+c)

Ja. den virker god:)

Godt :) Også skulle c bestemmes - Det gøres vel ved at sætte ligningen lig 0

hvorfor? gætter du?

husk y(0)=1

Jeg mener bare, hvis den skal opfylde y(0) = 1 så skal man jo kende værdien af c:

y = e^2x(-e^-x+c) ⇔ y(0) = e^2*1(-e^-1+c) = 1 

Hov 0 på xets plads

Bare glem det, min fejl (:

Man skriver følgende,

y' - 2y = e^x

y = e^2x (∫e^-2x·e^x dx) = e^2x(∫1/e^x dx) = e^2x·(-e^-x + C) = Ce^2x - e^x

Så har vi,

y(0) = 1 ⇒ C = 2

Jeg har lige et lille spørgsmål til den anden ligning jeg skrev i starten: y`-2y= 1+x

 y = ce^2x-1/2y - 3/4 + kan dette passe? 

Hvis du mener  y = ce^2x - 1/2x - 3/4, så ja.