Stamfunktioner

Det er ikke de letteste funktioner de har fundet.. Går ud fra du bruger : som divisionstegn.

Første funktion kan omskrives til:

4x+4 * x^-0.5

Partial integration er værktøjet, med 4x+4, som g(x) "som du differentierer væk".

Det giver: 8x^0.5 + 8/3x^3/2, hva jeg lige ka se.


Anden funktion er en eksponential funktion, og du skal kunne dine regneregler, der siger:

a^x integeret = a^x * 1/ln|a|

Det giver så -4/4^x*ln(4)

:) Håber det hjalp lidt på det :)

Tja, der er sandt at sige ikke meget at bestemme, sådan som det første indlæg er skrevet.

Der må være tale om, at man skal bestemme integralerne

1) S[4*(x+1)/sqrt(x)]dx

2) S[4/4^x]dx

I 2) kunne man passende vise, at

4/4^x = 4*(1/4)^x

//Epsilon

#2

Epsilon, Jeg sad med et integrationstykke jeg ikke sårn udmiddelbart kunne løse:

Hva gør man f.eks. i denne situation:

S[4/(x^2+2x)]dx

Mig bekendt kan jeg ikke bruge integration ved substitution, da der ikke kan opløses noget led... Og jeg kan ikke bruge partiel integration heller, da jeg ik kan reducere stykket, mere end at omskrive det til f.eks.

4* (x^2+2x)^-1 , her er jeg imidlertid låst lidt fast...

Stykket giver 2ln(x-2/x), og jeg kan godt komme den anden vej, ved at differentiere, meeen..?

Jeg er ikke helt sikker på din notation. Antager du mener funktionerne

f(x) = 4(x+1)/sqrt(x)

g(x) = 4/4^x

Jeg benytter S til at betegne et ubestemt integral.

1. Udnyt at x = sqrt(x)*sqrt(x) og få

S[4(x+1)/sqrt(x)]dx =

S[4*sqrt(x)+4/sqrt(x)]dx =

8/3*x^(3/2)+8*sqrt(x)+C

Hvor C er en arbitrær integrationskonstant.

2)

S[4/4^x]dx =

S[4*(1/4)^x]dx =

(4/ln(1/4))*(1/4)^x + C =

-(4/ln(4))*4^(-x) + C

Hvor C er en (anden) arbitrær integrationskonstant.

#1 Husk at ubestemte integraler kun er fastlagt optil en arbitrær konstant.

#3 Jeg får nu stamfunktionen til

2*ln(x/(x+2))

Ok, jeg vil mene du har angivet et ukorrekt facit. Jeg gør som følger for at nå resultatet i #5:

Partialbrøksudvikl brøken

1/(x^2+2x) = 1/(x(x+2)) = a/x + b/(x+2)

hvor a og b re søgte, reelle konstanter. Sættes sidste udtryk på fælles nævner fås

((a+b)x + 2a)/(x(x+2))

Vi ved at (hvorfor?)

a+b = 0
2a = 1

hvoraf a=½ og b=-½.

Integralet er derfor

S[4/(x^2+2x)]dx =

2*S[1/x-1/(x+2)]dx =

2*(ln(x)-ln(x+2)) + C =

2*ln(x/(x+2)) + C

hvor C er en arbitrær integrationskonstant.

#5
Men hvordan??
Den skal regnes ud i hånden..

Jeg har skrevet + istedet for -, som opgaven lyder, der sku ha stået:
4/x^2-2x, og ja du har derfor ret.

Jeg kan differentiere den anden:
2ln(x-2/x)

jeg differentiere ydre og indre.
2/(x-2)/x * 2/x^2

jeg ganger brøkerne sammen.
4/(x^3-2x^2/x) <=> 4/x^2-2x

#6 Okay, har ikke lært om partielbrøkudvikling...

Men det ser ud til at virke.. :)
Noget man kaster sig ud i på universitetet?

Ja, har ikke medtaget den arbitrære integrationskonstant, da det er en formalitet. :P

#7 Se #6 og skift selv plus ud med minus.
Du skulle gerne finde at konstanterne a og b nu har skiftet fortegn.

Partialbrøksudvikling er en simpel metode til at dekomponere (adskille) en rationel funktion i en sum af simplere bestanddele.

En rationel funktion er en funktion

F(X) = P(X)/N(X)

hvor P og N er polynomiefunktioner.

Eksempel:

F(X) = (x+2)(x-1)/[x(x-1)(x+7)]

Det viser sig at når Q's grad er større end eller lig 1 kan man altid skrive F som en sum af stambrøker. Ved en stambrøk forstås en funktion der er givet ved et udtryk af en af de følgende to former

d/(x-c)^p

eller

(kx+l)/(x^2+ax+b)^q

hvor a,b,c,d,l er reelle konstanter og p,q (polynomiegraderne) er hele tal.

Disse stambrøker kan hver især let integrereres (naturlig logartimefunktion).

Og ja, det læres bl.a. på uni.

Ja har gennemskuet logikken i det ud fra dit eksempel, faktiskganske smart. :)

Tusind tak for dine detaljeret forklaringer, altid godt at lære noget nyt! ;)

Hvilken civil-ingeniør uddannelse er du igang med? overvejer selv at læse nannoteknologi på dtu eller til læge på panum/ku.. To meget forskellige ting, så det er om at vælge rigtigt.. :)

Har stor interesse for matematik og fysik, men ligeledes kemi og biologi, og det ret menneskelige, så rimelig svært at vælge... suk.. :P

#3:
Det er korrekt, at hverken partiel integration eller integration ved substitution umiddelbart er til nogen nytte i det tilfælde. Men der findes andre mere eller mindre generelle metoder til at integrere sådanne funktioner. Undertiden gælder det om at omskrive integranden på en tilpas smart måde, så man kan bringe de sædvanlige integrationsregneregler i spil.

Bemeldte integrand kan skrives

4/(x^2 + 2x) =
4/(x*(x+2)) =

For at opsplitte integranden i en sum af to led, skriver vi

a/x - b/(x+2)

og søger dernæst at fastlægge a og b, således, at

(a*(x+2) - b*x)/(x*(x+2)) = 4/(x*(x+2))

Vi må således have (overvej), at

2a = 4
a-b = 0

hvilket entydigt fastlægger a = b = 2. Dermed haves

4/(x*(x+2)) = 2/x - 2/(x+2)

således, at

S[4/(x^2 + 2x)]dx =

2*S[1/x - 1/(x+2)]dx =

2*(ln|x| - ln|x+2|) + C =

ln((x/(x+2))^2) + C

for en arbitrær reel konstant, C. At dette vitterlig er korrekt, bør selvfølgelig kontrolleres. Vi ser, at;

d/dx[(x/(x+2))^2] =
2*(x/(x+2))*((x+2)-x)/(x+2)^2 =
4x/(x+2)^3

og derfor

d/dx[ln((x/(x+2))^2) + C] =

[((x+2)/x)^2]*[4x/(x+2)^3 =
4/(x*(x+2)) =
4/(x^2 + 2x)

som ønsket. Naturligvis er familien af stamfunktioner kun differentiabel i hvert af de åbne intervaller

]-infty;-2[, ]-2;0[ og ]0;infty[

hvilket er indirekte forudsat i differentiationen ovenfor.

//Epsilon

#12
Ja, har også lige fået det bekræftet af fixer, men kræver denne omskrivningstype som jeg ikke har stiftet bekendskab med før.. :)

Tak for de fyldige svar, det er rart.. :)

Kan se du studerer matematik og fysik ved Aarhus universitet, er det et spændende studie? Og hvad vil du gerne have det munder ud i?

#13:
Studiet er faktisk ganske interessant, især matematik :-)

På nuværende tidspunkt går jeg mest med en forestilling om at komme til at undervise i gymnasiet efter at have opnået en kandidatgrad. Der går imidlertid mindst et par år endnu, og hvem ved; kanske jeg skifter mening undervejs. Det får tiden vise. Under alle omstændigheder er det for mit vedkommende afgørende at komme til at anvende matematik i en sammenhæng, hvor jeg fornemmer, at jeg får udrettet noget, som motiverer i en sådan grad, at jeg har lyst til at beskæftige mig med det i en del år fremover. Til syvende og sidst må jeg jo vedkende mig, at matematikken sandsynligvis bliver mit levebrød; hvad enten det bliver i undervisningsregi eller andetsteds :-)

//Epsilon

#11

Jeg læser ikke. Jeg fik min kandidatgrad for 9 år siden.

I studiet på DTU vælger man hvert semester en række kurser man vil følge. Kursusudbuddet omfatter omtrent 500-600 forskellige kurser inden for forskellige fagdiscipliner. Hvert bestået kursus giver et antal point. Studiet afsluttes med et eksamensprojekt, der typisk strækker sig over et halvt år. For at opnå sin kandidatgrad skal man samle 330 point qua beståede kurser samt eksamensprojekt.

Der kan opnås forskellige liniebetegnelser, fx bygningsingeniør, kemiingeniør, maskiningeniør. Selv er jeg elektroingeniør. Liniebetegnelserne opnås dersom man består de kurser, der kræves for den enkelte liniebetegnelse. Hvis ikke man opfylder kravene til nogen af liniebetegnelserne, får man graden civilingeniør (som man også har ret til at kalde sig hvis man har en liniebetegnelse).

Undervisningsformen er forelæsninger om formiddagen suppleret med opgaveregning og/eller øvelser om eftermiddagen. Hvert kursus afsluttes i regelen med en skriflig eksamen; senere i studieforløbet er nogle af eksaminerne mundtlige.

Jeg kan varmt anbefale dette studie. Friheden er stor; der er 6-7 grundfag, der er obligatoriske, ellers kan man vælge fag som man lyster. Jeg gik ombord i matematik og fysik for fulde gardiner og det er den bedste faglige oplevelse jeg nogensinde har haft.

Studiet tilbyder ret gode muligheder for at komme på udlandsophold gennem IASTE. En af mine studiekammerater læste faktisk nanoteknologi og tog på studieophold i Californien. Det netværk han skabte sig på dette ophold
har gjort at han i dag arbejder på selvsamme universitet med ekstremt spændende forskning.

Når man starter på DTU er det en stor fordel at have sig det endelige mål for øje (nanoteknologi for dit vedkommende). Der går noget tid inden man er kommet i gennem de grundfag, som resten af studiet bygger på, så det er godt at have en gulerod dinglende ude i fremtiden.

Beskæftigelsessituationen for civilingeniører er pt tålelig. Det vanskeligste er ikke at få et job, men at få et job med et højt, fagligt niveau. Det kan godt undre, når man som studerende har jublet over erhvervslivets råben efter højtuddannet arbejdskraft, at man så bliver sat til ting der kunne være løst af en opvakt gymnasieelev. Mine egne fagområder er CFD (Computational Fluid Dynamics) og elektromagnetisk feltteori (antenner, radarsystemer). Antallet af danske virksomheder, der beskæftiger sig med sligt, kan tælles på een hånd minus et par fingre.

Du kan læse mere om nanoteknologistudiet på

http://www.fys.dtu.dk/upload/institutter/fys/_fys/nano/brochure_fn_2005.pdf

Endvidere vil Instituttet for Fysik garanteret gladeligt fortælle dig mere hvis du kontakter dem.

#15
Okay, jeg har læst en del om de forskellige cevilingeniør retninger, og der må siges at være nok at vælge imellem.
Det lyder alt sammen spændende, men gør ikke mit dilemma mere overskueligt...

Men tusind tak for dine forklaringer og hjælpsomhed, det giver et dybere indblik indblik i tingene, og mon ikke man på et tidspunkt får samlet mosaikken, og valgt det man skal beskæftige sig med resten af livet! :)

Håber du finder et fagniveau der giver lidt sved på panden engang imellem, har det lidt på samme måde, der skal være lidt udfordring i arbejdet, for at fremme motivationen..

#14
Okay, jah matematik er nu en skøn ting.. Kan også se det er primært det emne du kaster dig ud i her på sitet...

Jeg håber du finder nogle tålelige gymnasie elever eller lignende i den kommende fremtid, du kan lære at jonglere lidt med tal.. :)

Held og lykke!

// Mathias