Bevægelse

Bolden skal jo netop ikke lande ved h = 0; den skal jo ramme skråplanet igen længere henne.

Boldens parameterkurve er

x(t) = v₀·cos(φ+θ)·t

y(t) = v₀·sin(φ+θ)·t - (1/2)gt²

mens en parameterfremstilling for skråplanet er

x = s·cos(θ)

y = s·sin(θ)

Her er s den lineære afstand langs skråplanet. Ved skæring mellem boldens kurve og skråplanet skal der så gælde

v₀·cos(φ+θ)·t = s·cos(θ) , og

v₀·sin(φ+θ)·t - (1/2)gt² = s·sin(θ)

Isoleres s af den første ligning og indsættes dette i den anden ligning fås

v₀·sin(φ+θ) - (1/2)gt = v₀·cos(φ+θ)·tan(θ)

hvoraf man så får

(1/2)g·s·cos(θ) = v₀²·cos(φ+θ)·(sin(φ+θ) - cos(φ+θ)·tan(θ))

Isoler nu s .

Benyt additionsformlerne for sinus og cosinus:

sin(φ+θ) - cos(φ+θ)·tan(θ) = [sin(φ)·cos(θ) + cos(φ)·sin(θ)]·cos(θ)/cos(θ)

                                                   - [cos(φ)·cos(θ)-sin(φ)·sin(θ)]·sin(θ)/cos(θ)

                                                 = [sin(φ)·cos²(θ) + sin(φ)·sin²(θ)] / cos(θ)

                                                 = sin(φ) / cos(θ) ,

hvoraf facitlistens udtryk fremkommer:

s = (2·v₀²/g) · cos(φ+θ) · sin(φ) / cos²(θ)

θ + φ = 45^o  vil altid give den længste balistiske bane, kommer du frem til et andet reslutat så regn lige igennem en gang til !.

Ups! På et plan mindre end 45^o.

#3

Hvis s er målet for den ballistiske bane, er dette svar ikke korrekt.

For fastholdt θ skal man løse ligningen ds/dφ = 0, hvilket fører til ligningen

                     tan(2φ_max)·tan(θ) = 1

Ups jeg regner her ,,, muligt jeg tager fejl ,, jeg gik lige ind i  tabel og afprøvede ved 15 og 30 grader. fordi jeg antager militæret har forstand på at skyde!.

#6

Den slags antagelser har man sjældent brug for i en matematikopgave.

Ligningen for φ_max i #5 fører så fra

      tan(2φ_max)·tan(θ) = 1

til

      tan(2φ_max) = 1/tan(θ) = tan(π/2 - θ),

eller

      φ_max = (π/4) - θ/2 .

Forslaget i #3 kan da revideres til

      (θ/2) + φ_max = π/4 = 45º

Mange tak til Andersen11

Det var flot og smuk udtrykt det tages til notat og gemmes i min formel samling..

Du er med potens en meget stærke matematiker der altid kan træke den elegante ligning lige fra hoften som en skarp ladt pistol...man er lidt missundlig her :-)

.

#9

Det er nu snarere hvad jeg vil kalde "back-of-the-envelope" beregninger, dvs. hvad der forekom ligefor, mens jeg skrev det direkte i svarboksen her. Det kan sikkert poleres af med lidt mere tid.

En vigtig pointe i forbindelse med beregningen i #1 er denne, at når man søger skæring mellem to parametriserede kurver, er det vigtigt at benytte forskellige symboler for parameteren i de  to kurver.