Matematik
Diffenrentialligning
a) Gør rede for, at enhver af funktionerne
fc(x)=c*e^-x+e^x
hvor c er et tal, er løsning til differentialligningen (*).
(ved fc(x) er c'et sænket..)
b) For en bestemt værdi af c går grafen for fc gennem punktet P(-2,15).
Beregn denne værdi af c.
c) Nogle løsninger til differentialligninge (*) er voksende funktioner. Bestem de værdier af c, for hvilke fc er en voksende funktion.
Jeg har regnet a og b, men c'eren kan jeg ikke rigtig finde ud af.
Har gjort dette:
fc'(x)>=0
<=> c>=e^(2x)
(>= svarer til større eller lig med)
men denne c-værdi kan jo ikke passe, idet c jo skal være en konstant??!!
Svar #1
17. september 2005 af Rasmus.p (Slettet)
Svar #2
17. september 2005 af Epsilon (Slettet)
c
Regn efter igen - enten ud fra differentialligningen eller ud fra f_c'.
#1:
Det ligner sandt at sige et tilbud om snyd for åben skærm.
It would not be wise to do so.
//Epsilon
Svar #3
17. september 2005 af Rasmus.p (Slettet)
At du med det samme går ud fra at der er tale om snyd viser mere om dit syn på elever, undervisningssytetmet og mennesker generelt. Jeg går ud fra at du også ser det som snyd hvis man får hjælp af en fysisk kammerat (og der adskiller vi os væsentligt.)
Mvh. Rasmus
Svar #4
17. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Det kan meget vel være, at du har skrevet en udførlig forklaring på i din aflevering; det betvivler jeg ikke.
Men - dit tilbud til Anna om at udlåne din besvarelse har ikke en pind med ansvar for egen læring at gøre; forklar mig hvordan du kan fralægge dig ansvaret i det øjeblik, at hun måtte acceptere at låne din aflevering.
Din bedømmelse af mit syn på elever og undervisningssystemet virker yderst snævert funderet; hvad ved du reelt om det? Jeg har ikke opponeret imod, at man diskuterer aspekter af opgaver, som man ikke helt forstår, med andre. Men jeg er til gengæld imod, at man uden videre låner andres besvarelser, hvilket netop var dit tilbud.
//Epsilon
Svar #6
17. september 2005 af fixer (Slettet)
Læs det lige igen. Ansvar for egen læring vedrører kun een selv. Anna18's ansvar for egen læring påhviler ikke Rasmus.p.
Og iøvrigt, så længe der ikke er en officiel politik for foraet er der ikke gyldig hjemmel for selvbestaltede ordenshåndhævere. Lad os nu vente til der kommer klare retningslinier for hvad der sømmer sig her.
Svar #8
17. september 2005 af Rasmus.p (Slettet)
... Hvilket var med fuldt overlæg, da dette er en reflektion af din (IMO) snævertsynede konklution af mit tilbud; Du er jo med overbevist om, at jeg mit eneste mål er at underminer det danske undervisningssystem, egenhændig, fremfor at hjælpen en 'medstuderende' -- og ja det er skrevet med overdrivelser så du behøves ikke at gøre opmærksom på det. Desuden holder jeg ved, at du på dette punkt har et yderst liberalistisk synspunkt (for mennesker er jo i bund og grund nogle egoistisk svin, der altid springer over hvor gæret er lavest, er de ik'?).
"Men jeg er til gengæld imod, at man uden videre låner andres besvarelser, hvilket netop var dit tilbud."
Fremfor at jeg skal til at finde min opgave frem og gengive min besvarelse (hvilket sandsynligvis vil medfører forringelse) tilbyder jeg at sende min aflevering, der indeholder en udførlig forklaring af problemstilling. Hvorfor gør det det moralsk forkaseligt at det er dateret d. 16 og ikke d. 17(?) (det er afleveringen fra i går), og har et andet publikum end Anna?
Den eneste forskel (som jeg ser det), er at det ikke er skrevet direkte til det formål at hjælpe Anna, men istedet er en del af min mat. afl. fra i går. Sådan forholder det sig jo for så vidt med hele opgave afdelingen af denne side!
Desuden er forum-softwaret (er det ikke det det hedder?) ikke specielt godt til at skrive matematik i. (La)TeX er pænere og dermed lettere at forstå (dette er ikke altid sandt, men i dette konkrete eksempel holder det!)
Svar #9
17. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Vi er enige om det første. Sidste sætning i det citerede går dog ikke på ansvar for egen læring; det går på, at man ikke 'bare' kan fralægge sig et ansvar ved at kaste bolden over til medspilleren og dertil sige: "Nu er det dit problem om du vil "snyde" eller ej."
Vel er der ikke gyldig hjemmel for selvbestaltede ordenshåndhævere; jeg skal ej heller foregive at være en sådan. Hvis folk har den modsatte opfattelse, er det naturligvis beklageligt.
Men jeg har bestemt i sinde at tilkendegive min sondring mellem 'hjælp' og 'snyd'. Ud fra et professionelt synspunkt, dvs. sætter man sig i lærerens sted, må man simpelthen erkende, at der er markant forskel på at få hjælp (i betydningen 'vejledende diskussion') og at få udleveret en færdig besvarelse.
//Epsilon
Svar #10
17. september 2005 af Rasmus.p (Slettet)
tak for at læse hvad der konkret står. En egenskab som både jeg(!) og (åbenlys?) hr. Epsilon kunne lære noget af.
Mvh. Rasmus
Svar #11
17. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Godt - nu har du fået lov til at levere dine grundløse gætterier på mit syn på mennesker og undervisningssystemet. Lad det nu ligge og hold dig til sagen. Jeg har sagt, hvad jeg mener om dit tilbud om at udlåne en besvarelse. Længere er den ikke. At jeg læste 'der er ansvar for egen læring' forkert, må jeg vel bare tage på mig. Men hvad du ellers har af formodninger om mit syn på andre mennesker, er for så vidt din sag. Det er hamrende irrelevant for så vidt angår opgaven.
I stedet for at gengive eller udlåne din besvarelse af omtalte opgave, kunne du måske i denne tråd give Anna et vink til sidste opgavespørgsmål, ud fra hvilket hun så kan arbejde. Det vil hun formentlig være taknemmelig for.
//Epsilon
Svar #12
17. september 2005 af Rasmus.p (Slettet)
Der står, at f_c er voksende? Hvad betyder det? Med andre ord, hvad gælder der om f(x_1) og f(x_2) når x_2>x_1 ?
Herefter kan du se på de enkelt led af liningen. Hvad gælder der om e^x for hhv. x-->uendlig og x-->-uendlig ?
Du kan fortage en lignende analyse af ce^-x når c>0, c
Brug evt. grafregneren. Det er dog på ingen måde nødvendig.
Du skulle dermed gerne nå frem til en løsningsmængde (med det mener jeg noget i retningen af c>42. Det er dog (naturligvis) ikke løsninge:-)
---
Note til Epsilon: Man kunne argumenterer for, at jeg *bare* burde have gjort dette fra starten. Det ville have spartet megen galle... Hand me the peace pibe, please :-)
Svar #13
18. september 2005 af Anna18 (Slettet)
fc'(x)=e^x-c*e^-x
e^x vil altid være stigende eller nul.
dvs. vi skal bare kigge på leddet -c*e^-x, og finde ud af for hvilken c-værdi dette led er større end nul, altså:
-c*e^-x >= 0
<=> -c >= 0
<=> c
Kan man gøre sådan.?
Svar #14
18. september 2005 af Epsilon (Slettet)
e^x er strengt større end 0 (!). Men ellers har du ret.
Alternativt kan man bruge differentialligningen;
y' + y = 2*e^x <=>
y' = 2*e^x - y
Det ønskes, at y' >= 0, og med y = f_c(x) fås
2*e^x - y >= 0 <=>
e^x - c*e^(-x) >= 0 <=>
c*e^(-x) =< e^x <=>
c =
Da e^(2x) > 0 for alle x, er f_c således voksende præcis, hvis c =
//Epsilon
Svar #15
19. september 2005 af Anna18 (Slettet)
2*e^x - y >= 0 <=>
e^x - c*e^(-x) >= 0 <=> (hvor bliver 2-tallet af her?)
c*e^(-x) =< e^x <=>
c =
Da e^(2x) > 0 for alle x, er f_c således voksende præcis, hvis c =
(Hvad mener du med et?)
Svar #16
19. september 2005 af fixer (Slettet)
Med strengt større end nul med at for alle x er e^x > 0. Der hentydes til din bemærkning i #13 om at e^x altid vil være voksende eller nul. Sidstnævnte er ikke muligt.
Kravet om at y skal være voksende er ækvivalent med betingelsen y' > 0 for alle x for hvilke y er defineret. I #14 er vist at dette fører til kravet
c =
Men da e^(2x) > 0 for alle x står der med andre ord c =< 0 - e^(2x) kan antage værdier vilkårligt tæt på 0 fra den positive side, men kan aldrig blive 0.
Svar #17
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Ja, den naturlige eksponentialfunktion e^x (og for den sags skyld enhver anden eksponentialfunktion) er skarpt større end 0 (strengt positiv).
Jeg benytter, at
y = f_c(x) = c*e^(-x) + e^x
Deraf følger, at
2*e^x - y = e^x - c*e^(-x)
hvilket forklarer uligheden i anden linje.
" Da e^(2x) > 0 for alle x, er f_c således voksende præcis, hvis c =
(Hvad mener du med et?) "
Betegnelsen 'voksende' (uden nærmere angivelse af et bestemt interval) er en global egenskab ved en funktion; f_c er således kun voksende, hvis f_c er voksende i ethvert interval, hvor funktionen er defineret. Derfor skal f_c være voksende i hele R. Dette giver, som vi allerede har set:
c =
og dette skal gælde for _ethvert_ reelt tal, x (!). Det er _kun_ tilfældet, hvis
c =
idet e^(2x) > 0 for alle x.
Det er vigtigt, at du forstår dette argument.
Lad mig udtrykke det lidt anderledes; uanset hvor lille et c > 0 du måtte vælge, kan vi altid finde et x således, at e^(2x)
e^(2x) >= c
og f_c er derfor ikke voksende; specielt er f aftagende i ]-infty; 1/2*ln(c)], hvis c > 0. Man siger, at det fundne x 'afparerer' det givne c.
Hvis derimod c =
Måske lyder det lidt kryptisk. Tænk det igennem og spørg igen, hvis du er i tvivl.
//Epsilon
Svar #18
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Lige præcis. Fair nok, at du svarer; undertiden går der et lys op for spørgeren, når tingene anskues på forskellig vis eller forklares med andre ord.
I øvrigt blander jeg mig ofte i tråde, selv om spørgeren ikke umiddelbart henvender sig til mig; af den netop ovenfor nævnte årsag.
//Epsilon
Svar #19
19. september 2005 af Anna18 (Slettet)
fc'(x) skal være større eller lig nul; vi kigger på fc'(x):
fc'(x)=-c*1^-x+e^x
Vi kigger på de to led i funktionen hver for sig:
. e^x vil altid være voksende for alle værdier af x.
. dermed skal vi blot finde de værdier hvor -c*e^-x er større eller lig med 0:
-c*e^-x >= 0
<=> -c >= 0
<=> c
er det nok at skrive det..?
Svar #20
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Det kan gå an, men jeg synes, at du i det mindste skal udlede, at
c =
ud fra differentialligningen og så skrive, at man deraf ser, at præcis for
c =
er f_c voksende.
Den lidt længere uddybende kommentar, som jeg skrev i #17, var såmænd blot et forsøg på at anskueliggøre situationen lidt mere præcist. Hvis blot du er med på, hvorfor c =
//Epsilon