Side 2 - Diffenrentialligning

hm..okay..

jeg er bare ikk sikker på hvordan man udfra:
c =
kan se at
c =

#21:
Fordi e^(2x) > 0 for alle x. Uligheden

c =

kan derfor kun være opfyldt for alle x, hvis

c =

Enhver værdi af c > 0 vil jo kunne afpareres af et x

//Epsilon

okay.. kan jeg skrive det her så:

fc'(x) skal være større eller lig nul for alle x, for at fc er voksende.

fc'(x) >= 0
<=> e^x-c*e^-x >= 0
<=> c


Vi ser på e^2x:

lim (x-->uendelig) (e^2x) = uendelig

og

lim (x--> minus uendelig (e^2x) = 0

dvs. e^2x>0 for alle x!


Dermed er fc voksende hvis c

Da c skal være mindre eller lig e^2,x og e^2x vil altid være større end nul (måske uendelig tæt på nul, men aldrig nul)

lidt mere til min forklaring nederst:

Den laveste værdi e^2x kan antage er en værdi utrolig tæt på nul (men den vil altid være mindst lidt højere).
Så hvis blot c er mindre eller lig nul, så vil c altid være mindre end e^2x ligemeget hvilken x-værdi vi bruger...


Kan du udfra mine forklaringer sige om jeg har forstået det rigtigt..??

#24 Din konklusion er sådan set god nok.

Men din argumentation i #23 for at e^(2x) er voksende halter. Det, at det om en funktion f gælder at

f(x) -> infty for x -> infty

og

lim(x->-infty)[f(x)] = 0

er ikke ensbetydende med at f er voksende. En funktion f er voksende i R såfremt dens første afledede f'(x) > 0 for alle x E R. Men fremfor at foretage denne undersøgelse kan du også blot benytte det argument, alle eksponentialfunktioner e^(ax), a>0 vides at være voksende.

#24:
Foruden bemærkningerne i #25 skal jeg bemærke, at e^(2x) _ikke_ har et minimum (og faktisk ej heller et maksimum, men lad det nu ligge; det har vi ikke brug for i opgaven).

Det lyder måske absurd, at e^(2x) ikke har et minimum; men det var faktisk hvad vi viste længere oppe. Lad os gå en anelse mere i detaljer; prøv at følge argumenterne nedenfor.

Lad os antage, at e^(2x) _har_ et minimum m (m > 0, fordi e^(2x) > 0), som antages for et x, lad os sige x'.

Da gælder, at

e^(2x') = m <=> x' = 1/2*ln(m)

e^(2x) > m for alle x != x'

Vælg nu specielt x = 1/2*ln(m) - d/2, hvor d > 0 er et lille positivt tal. Bemærk, at x != x'. For dette x er

e^(2*(1/2*ln(m) - d/2)) =
e^(ln(m) - d) =
e^(ln(m))*e^(-d) = (
m/e^(d)

Uligheden følger af, at e^(d) > 1, fordi d > 0 (e^(2x) er voksende, og e^(0) = 1).

Men uligheden er jo en modstrid! Vi har fundet et x

e^(2x)

hvor m var minimum for e^(2x). Med andre ord må antagelsen om, at e^(2x) har et minimum, være forkert.

Kan du se det?

//Epsilon