glidning på skråplan

De fysiske lover er uafhængig af koordinatsystemet, så din lærer har ret i at det er ligegyldig hvilken koordinatsystem du bruger. Vælger du y koordinaten så den er lodret, vil hastighedsvektoren have en komponent efter både x og y retningen. I praksis vil man normalt ikke ligge noget koordinatsystem i dette tilfælde; men blot projekterer efter de angivne retninger og så regne langs de relevante retninger.

vektorligning

                            F_res = F_plan - F_gnid

størrelsesligning
                            F_res = m·g·sin(α) - µ·m·g·cos(α)       α er planets hældningsvinkel med vandret

                            F_glid = m·g·sin(α) - µ·m·g·cos(α) ≈ 0

                                      m·g·sin(α) = µ·m·g·cos(α)

                                      µ = tan(α)

Peter: Okay men så tror jeg det ikke forstår er dette. Når man projicerer tyngdekraften langs og vinkelret skråplanet så ser man jo den værende summen af en vektor langs hver af disse to retninger. Er dette ikke netop et udtryk for at vi har valgt at se tyngdekraften i det koordinatsystem som ligger med x-aksen parallelt med skråplanet? Hvis ikke hvad ville så være at skifte koordinatsystem?

Nej. At projektere en vektor ned langs skråplanet har ikke noget som helst med valg af koordinatsystem at gøre. Projektionen bliver den samme vektor uanset koordinatsystemet. Hvis kraften i dit foreslåede koordianatsystem er (4, -3) vil den i et koordinatsystem med x akse parallel  med fladen have koordinaterne (5 ,0) men det er den samme vektor. Du må ikke blande selve vektoren sammen med hvilken koordinatsystem den beskrives i.

Det kommer mere an på, hvilken retning det bevæger sig. Når objektet går mod venstre fra vinkel θ, er de kræfter på venstre side, der trækkes med de kræfter fra modsatte retning. Altså, 

<-- ΣF_x = F + (cos(θ)·w) + (-F_f) = F + cos(θ)w - μ·sin(θ)w = ma

 ^{Retning                  venstre     + højre}

Men de to vektorer i dit eksempel har forskellige koordinater. Er det netop ikke et udtryk for at de repræsenteres i to forskellige koordinatsystem, og dermed at vi ved at finde komponenter langs to vinkelrette retninger faktisk skifter til et andet koordinatsystem. Hvis ikke, så forklar hvad det virkelig vil sige at skifte koordinatsystem. På en måde så lyder det velkendt det du siger med at vektoren er den samme, for man får altid banket ind i hovedet at en vektor er uafhængig af koordinatsystem. Men jeg har aldrig helt forstået hvad der menes. Jeg kan godt se at længden er invariant over en transformation, men hvis koordinaterne ændres sig, hvad skal der så forstås med at vektoren er uafhængig af koordinatsystemet?

                                    ...at |F_res| er konstant

                                       |F_res| = √(4²+(-3)²)  =  √(5²+0²)

#6 Et koordinatsystem er defineret ved nogle basisvektorer. e_x og e_y. Hvis du vælger et system med y aksen lodret vil basisvektorene være  enhedsvektorer e_1x, der peger mod højre og e_1y, der peger lodret opad. En vektor v vil så have koordinaterne (x,y) givet ved v = x*e1x+y*e1y. I mit eksempel vil vektoren så være v = 4*e_1x-3*e_1y.

I det andet koordinatsystem  vil man have basisvektorene e_2x og e_2y, som er enhedsvektorer som peger henholdsvis ned langs skråplanet og peger vinkelret op fra skråplanet. I dette koordinatsystem vil vektoren kunne skrives som 5*e_2x+0*e_2y. Det er samme vektor, så der vil gælde

v = 4*e_1x-3*e_1y = 5*e_2x

okay men så skifter man jo også basis når man projicerer vektoren ind og derved koordinatsystem? Hvordan skulle man løse problemet uden at gøre dette? Altså i et arbitrært koordinatsystem. Man er jo nødt til at udnytte den information at tyngdekraftens komponent vinkelret på skråplanet er lig normalkraften.

Alle de beskrivelser jeg har set af skråplanet indleder med slet ikke at have noget koordinatsystem. Man bruger bare de almindelige regler for vektorer til at finde den resulterende kraft. Først derefter vælger man et koordinatsystem, og det gør man selvfølgelig så det er nemmest at regne med. I en endimensional bevægelse vil man altid vælge et koordinatsystemet så aksen falder sammen med bevægelsen.

øv jamen det er jo det jeg mener. Så snart man regner med vektorer er man vel nødt til at indføre en basis som man beskriver sine vektorer ud fra. Og så er det jeg siger, er man ikke NØDT til at vælge den basis som har en enhedsvektor langs og vinkelret på skråplanet. Hvis ikke kan man jo ikke udnytte den information at normal kraften kancellerer tyngdekraftens komponent langs basisvektoren vinkelret på skråplanen. Jeg har prøvet at bruge dit sprog men for mig er basis og koordinatsystem mere eller mindre det samme :(

øv jamen det er jo det jeg mener. Så snart man regner med vektorer er man vel nødt til at indføre en basis som man beskriver sine vektorer ud fra. Og så er det jeg siger, er man ikke NØDT til at vælge den basis som har en enhedsvektor langs og vinkelret på skråplanet. Hvis ikke kan man jo ikke udnytte den information at normal kraften kancellerer tyngdekraftens komponent langs basisvektoren vinkelret på skråplanen. Jeg har prøvet at bruge dit sprog men for mig er basis og koordinatsystem mere eller mindre det samme :(

Man kan godt regne med vektorer uden at have et koordinatsystem, hvilket man rent faktisk gør i alle de beskrivelser af skråplanet jeg har set. Her bruger man kræfternes parallogram til at finde den resulterende uden at bruge noget koordinatsystem. Hvis det kun er det der spørges om er man færdig uden at skulle bruge et koordinatsystem. Det er først når du skal finde den resulterende bevægelse du har behov for koordinatsystemet.