Integralregning

Det eneste der lige falder mig ind her fra morgenstunden er at udnytte Euler's formler, men de kræver lidt kendskab til komplekse tal.

Det er nemlig således, at et komplekst tal e^(iax), hvor i er den imaginære enhed, er defineret som

e^(iax) = cos(ax) + isin(ax)

Heraf følger umiddelbart Euler's formler:

cos(ax) = (e^(iax) + e^(-iax))/2

sin(ax) = (e^(iax) - e^(-iax)/(2i)

Disse udtryk kan substitueres ind i det nævnte integral med a lig henholdsvis 1 og 2 i cosinus og sinusfunktionen.

Efter lidt regneri kommer man frem til:

cos^3(x)sin^2(2x) = (1/8)*(1/(2i))^2(e^(7iax)+e^(-7iax)+3(e^(5iax)+e^(-5iax))+e^(3iax)+e^(-3iax)-5(e^(iax)+e^(-iax)))
=
-(1/4)(cos(7x)+3cos(5x)+cos(3x)-5cos(x))

som nemt integreres ledvist. Men regn hellere efter selv for det er gået temmeligt hurtigt...

S(cos^3(x)*sin^2(2x))dx =

-1/48*sin(3*x)+5/16*sin(x)-1/112*sin(7*x)-3/80*sin(5*x) + k


så


pi/2
S(cos^3(x)*sin^2(2x))dx = 32/105
0



Duffy

Hvis eller jeg kunne tage mig sammen og udføre selv de mest simple operationer korrekt, ville jeg med det samme have set, at det lange udtryk i mit første indlæg naturligvis giver

cos^3(x)sin^2(2x) = (-cos(7x)-3cos(5x)-cos(3x)+5cos(x))

Og gud hjælpe mig om jeg så ikke glemte 1/16. Een gang til og så stopper jeg sågu for idag:

cos^3(x)sin^2(2x) = (1/16)(-cos(7x)-3cos(5x)-cos(3x)+5cos(x))