Matematik
Ekstremal
Det her tråd minder om den tidligere tråd, der omhandlede at finde minimal- og maksimalværdi. Jeg tænker på, hvordan det kan gøres uden at aflæse plottet. Man kan aflæse på plottet, at funktionen har maksimalværdi på 6 i punkt (2,2) altså f(2,2) = 6 samt minimalværdi på 0 i punkt (0,0) altså f(0,0) = 0.
Spørgsmålet er, hvordan kan beregne det uden at aflæse på plottet? Filen er vedhæftet. Jeg vedhæfter plottet i svaret.
Hvis I skulle vide, hvor langt jeg er nået, er nået hertil:
Da 0 ≤ x ≤ 2 og x - 2 ≤ y ≤ x, så
den anden ulighed vil det også være det samme som (x - 2)y ≤ y2 ≤ xy
De to uligheder adderes, får man
(x - 2)y ≤ x + y2 ≤ 2 + xy eller blot (x - 2)y ≤ f(x,y) ≤ 2 + xy
Men. Hvis jeg egentlig skulle gøre det på en anden sjusket måde;
0 ≤ x ≤ 2 og x - 2 ≤ y ≤ x
de to adderes, samt man trækker det med 2, får man
x - 2 ≤ x + y ≤ 2 + x dermed -2 ≤ y ≤ 2
så det her ganges med y, får man
-2y ≤ y2 ≤ 2y
så adderer man det her med den første ulighed, får man
-2y ≤ x + y2 ≤ 2 + 2y
Svar #2
04. november 2012 af Andersen11 (Slettet)
Definitionsmængden D er begrænset og afsluttet; den består af alle punkter på randen af og i det indre af parallelogrammet med vinkelspidserne (0,0) , (2,2) , (2,0) og (0,-2).
Funktionen f(x) = x + y2 er en kontinuert funktion. På den afsluttede, begrænsede definitionsmængde D har den derfor et minimum og et maksimum.
Man undersøger frrst, om funktionen har stationære punkter i sit indre. Da
∂f/∂x = 1 > 0
er der ingen stationære punkter.
Man skal derfor undersøge funktionen på de fire randlinier:
1) x = 0 , -2 ≤ y ≤ 0 . Her er f(x,y) = y2 med minimum 0 i (0,0) og maksimum 22 = 4 i (0,-2) og (0,2) .
2) x = 2 , 0 ≤ y ≤ 2 . Her er f(x,y) = y2 + 2 , med minimum 2 i (2,0) og maksimum 22+2 = 6 i (2,2) .
3) y = x , 0 ≤ x ≤ 2 . Her er f(x,y) = x + x2 , med minimum 0 i (0,0) og maksimum 2+22 = 6 i (2,2) .
4) y = x-2 , 0 ≤ x ≤ 2 . Her er f(x,y) = x + (x-2)2 = x2 -3x +2 , med minimum 7/4 i (3/2,-1/2) og
maksimum 4 i (0,-2) .
De fire resultater kombineres til at indse, at funktionen f(x,y) på hele D har minimum 0 i (0,0) og maksimum 6 i (2,2).
Skriv et svar til: Ekstremal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.