Matematik

Løsning til y' = a*y

15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL - Niveau: A-niveau

Lineære differentialligning y' = f(x)*y + g(x)

Kan I vise, at løsningen til differentialligningen y' = a*y, hvor g(x) = 0, f(x) = a

er y = ce^ax = ce^∫adx

Ekstra: Det er ikke helt nødvendigt, men hvis I har meget tid, vil I så vise, at

Løsningen til y' = f(x)*y + g(x)

er y = e^F(x) * ∫g(x)*e^-F(x) dx + ce^F(x)

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. november 2012 af mathon

...hvad er spørgsmålet?

Svar #2
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL

1) Kan du vise, at løsningen til differentialligningen y' = a*y er y = ce^ax = ce^∫adx ?

Svar #3
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL

2) Kan du vise, at løsningen til differentialligningen

y' = f(x)*y + g(x)

y =z(x)*e^F(x) = (∫g(x)e^-F(x)dx+c)*e^F(x) = e^F(x) * ∫g(x)*e^-F(x) dx + ce^F(x) ?

Brugbart svar (1)

Svar #4
15. november 2012 af mathon

f(x) = a

y ' = a*y

(1/y)·(dy/dx) = a

(1/y)·dy = a dx som integreres på begge sider

∫ (1/y)·dy = ∫ a dx

ln(y) = ax + ln(C)

y = C·e^ax

y = C·e^∫adx

Svar #5
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL

tak perfekt :D jeg forstår det

Brugbart svar (1)

Svar #6
15. november 2012 af PeterValberg

$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &=f(x)\cdot y+g(x) \\ &\\ \frac{dy}{dx} &=a\cdot y+0 \\ & \\ \frac{dy}{dx} &=a\cdot y\\ & \\ \frac{1}{y}\;dy&= a\;dx\\ & \\ \int{\frac{1}{y}\;dy}&= \int{a\;dx}\\ &\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\\ \ln(y)+c_1&=ax+c_2\\ &\\ \ln(y)&=ax+c_3~~~~~~~(c_3=c_2-c_1)\\ &\\ y&=e^{ax+c_3}\\ &\\ y&=e^{c_3}\cdot e^{ax}\\ &\\ y&=c\cdot e^{ax}~~~~~~~(c=e^{c_3})\\ \end{align*}$

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #7
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL

hvis I også gad 2'eren, så ville jeg blive glad.

Brugbart svar (1)

Svar #8
15. november 2012 af mathon

Vedhæftet fil:Differentialligning af typen_y'+f(x)y=g(x)_1.doc

Svar #9
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL

Mange tak, det er det bedste bevis, jeg nogensinde har set vedr. den lineære differentialligning. Det er godt nok smart det du gør på venstresiden i linje 3.

Svar #10
15. november 2012 af LLLLLLLLLLLLLLLL

3) Kan du vise, at løsningen til differentialligningen

y' =ay + b

y = -(b/a)+c*e^a*x

Brugbart svar (0)

Svar #11
15. november 2012 af PeterValberg

y' = ay + b
dy/dx = ay + b
1/(ay+b) dy = dx
∫(1/(ay+b) dy) = ∫dx

substituér t = ay+b og dy = 1/a dt (1/a er en konstant)

∫((1/t)(1/a)) dt = ∫dx
(1/a)∫(1/t)dt = ∫dx
(1/a)(ln(t)+c1) = x+c2
ln(t)+c₁ = ax + c₃ (c₃=a·c₂)
ln(ay+b)+c₁ = ax + c₃
ay+b = e^{ax +c4} (c₄=c₃-c₁)
ay+b = c₅e^ax (c₅=e^c4)
ay = c₅e^ax - b
y = -(b/a) + Ce^ax (C=c₅/a)

skulle jeg mene :-)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #12
15. november 2012 af mathon

Vedhæftet fil:differentialligning_41.docx

Brugbart svar (1)

Svar #13
15. november 2012 af mathon

hvis du ikke kan åbne docx-filer
så

Vedhæftet fil:differentialligning_41.doc

Skriv et svar til: Løsning til y' = a*y

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.