Hvad betyder nul-∫

₀∫^a f(x) dx  =  F(a) - F(0)      hvis  F'(x)  =  f(x)

Arealet af punktmængden S, der er afgrænset af grafen for f, x-aksen og de lodrette linjer x = a og x = b
kan bestemmes som værende lig med integralet:

hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

a og b angiver henholdsvis den nedre og den øvre grænse for integralet

 Jeg tænker ikke på det bestemte integrale, men på det ubestemte..

Der indgår ikke nedre/øvre grænse i det ubestemte integrale

altså

(1/y + 1/(M-y)) dy = aMdx

⇔

∫(1/y +1/(M-y))dy = ₀∫aMdx + C₂

⇔

ln(y) - ln(M-y) = aMx + C₂

 KAN I SE DET ? JEG FORSTÅR DET IKKE

Jeg er ret overbevist om, at der har været en "sætternisse" på spil.

Men du skulle næsten prøve at spørge Mathon direkte :-)

 men det er ikke første gang, at jeg ser ham bruge det, når han integrerer et eller andet, uden der er nogen øvre / nedre grænse ... Men du har aldrig hørt om det ? :)

#2 Hvordan laver du sådan en tegning>??

#8

Du kan se, at tegningen er et link til den originale tegning på wikimedia.

#5

Jeg tror, der ikke gør en stor forskel, når forkaster denne grænse.

∫(1/y + 1/(M-y)) dy = ∫aM dx

∫(1/y) dy + ∫ 1/(M-y)) dy = ∫aM dx

ln(y) - ln(M-y) = aMx + C

At man sætter ₀∫ på højre side, skyldes vel, at der ikke skal sætte integrationskonstant på højre side (eller, at omfanget skal påbegyndes ved 0 og op efter eller fra 0 i x-retning). Da man sætter C₂, stammer det vel fra den (samlede) integrationskonstant på venstre side. Blot en tankedeling. (Det kan være forvirret, men jeg forstår det heller ikke selv)

#8

Træk et billede ind i den hvide bokse (der hvor man opretter svar) fra en anden side.

Det drejer sig formodentlig om at løse den logistiske differentialligning

y' = a·y·(M-y)

Her er a en konstant (og ikke en grænse i noget integral.

Her separerer man de variable og får

y' / (y·(M-y)) = a , dvs

y' · (1/y + 1/(M-y)) / M = a ,

hvoraf man så får

y' / y + y' / (M-y) = a·M ,

der omskrives på differentiel form til

dy/y + dy/(M-y) = a·M dx

der umiddelbart integreres til

∫ dy/y + ∫ dy/(M-y) = ∫ a·M dx , eller

ln(y) - ln(M-y) = aMx + c ,

eller

ln(y/(M-y)) = aMx + c , eller

y/(M-y) = c·e^aMx , eller

M/y - 1 = c·e^-aMx

            med
                         ∫_o  f(x) dx       menes stamfunktionen med konstanten 0

                         ∫_o  f(x) dx =    F_k(x) + k = F_o(x)

Altså f.eks. ₀∫aMdx + c

   mathon har anvendt det et par gange, og jeg forstår det ikke .

han skriver nu

                       ∫_o aMdx + C

#12
Åhh, - det gi'r jo go' mening :-)
Jeg kan bare ikke mindes at have set det før.

God weekend