En stamfunktion til a^x

Man viser, at en funktion F(x) er en stamfunktion til funktionen f(x), ved at vise, at

F'(x) = f(x) .

Differentier funktionen       F(x) = (1/ln(a)) · a^x = (1/ln(a)) · e^x·ln(a)

         a^x = e^x·ln(a)

         (a^x) ' = e^x·ln(a)·ln(a) = ln(a)·e^x·ln(a) = ln(a)·a^x

         (a^x) ' = ln(a)·a^x
hvoraf
         a^x = (1/ln(a))·(a^x) ' = ((1/ln(a))·a^x) '

dvs
         ∫ a^x dx = (1/ln(a))·a^x + k

Tak for svaret, Andersen11. Det her jeg allerede gjort, men kan ikke få det til at gå op :-(
Er det helt forkert at løse det ved hjælp af substitution? Har fået afvide det er sådan den skal løses, men synes ingen mening det giver!

#3

Man kan jo sagtens integrere funktionen, da man jo bør kende integrationsformlen

∫ e^kx dx = (1/k)·e^kx + c , k ≠ 0 .

Så er

∫ a^x dx = ∫ e^x·ln(a) dx = (1/ln(a))·e^x·ln(a) + c = (1/ln(a))·a^x + c

Tak, mathon!
Forklar mig lige hvorfor du her (markeret med fed) skriver ln(a) i stedet for 1/ln(a)?

ax = ex·ln(a)

         (ax) ' = ex·ln(a)·ln(a) = ln(a)·ex·ln(a) = ln(a)·ax

Nej altså! Har misforstået opgaven fuldstændig fra starten af... Jeg tror jeg har fundet ud af hvordan man gør. Mange, mange tak for hjælpen :-)

Eller nej...

Hvor kommer (1/ln(a)) lige pludselig fra? (seriøst, min hjerne er stået af??)

∫ a^x dx = ∫ e^x·ln(a) dx = (1/ln(a))·e^x·ln(a) + c = (1/ln(a))·a^x + c

#7

Man benytter definitionen for a^x :

a^x = e^x·ln(a)  .

Derefter benytter man integrationsformlen (se #4)

∫ e^kx dx = (1/k)·e^kx + c , k ≠ 0 ,

som du kan eftervise ved at differentiere tilbage igen.

                          (a^x) ' = ln(a)·a^x                         multiplicer med (1/ln(a)) på begge sider

                          (1/ln(a)) · (a^x) ' = a^x

Okay, har aldrig brugt den formulering før? Men forstår sagtens hvad du mener. Må jeg smide den færdige udregning med tilhørende tekst op til dig her på tråden? Bare så jeg er sikker på jeg nu også har forstået det ;-)

Plejer at bruge denne formel ∫x^a  dx=1/(a+1) x^(a+1)+k - men det er vel same same ikke?

Problemet med den formel jeg bruger er bare at jeg får det til at give:

=(1/ln(a)+1e^^x*ln(a)+1+k
=(1/ln(a)+a+1^x+k

?

#11

Du skal lige være opmærksom på, at en potensfunktion x^a ikke er det samme som en eksponentialfunktion a^x , så derfor kan du ikke bruge integrationsformlen for en potensfunktion, når det nu er en eksponentialfunktion, der skal integreres. Der bruger man integrationsformlen for en eksponentialfunktion, som er givet flere gange ovenfor.

Ja, okay. Bliver bare en smule forvirret over jeg aldrig har fået den formel oplyst. Jeg takker mange gange for din hjælp! :-)Håber ikke jeg har været for uforstående.

#14

Jeg er sikker på, at du kan finde integrationsformlen (#4) for en eksponentialfunktion i din bog.

Når jeg slår op i stikordsregisteret under integrations af naturlig eksponentialfunktion står der så:

For den naturlige eksponentialfunktion f(x)=e^x gælder, at

∫e^xdx = e^x+c.

Det er det eneste der står i bogen om integration af eksponentialfunktioner.

#16

Formlen i #4  kan let udledes ud fra den grundlæggende formel ved at benytte substitution. For funktionen e^kx benytter man så substitutionen t = kx, dt = k·dx , så

∫ e^kx dx = ∫ e^t · (1/k) dt = (1/k) · ∫ e^t dt = (1/k)·(e^t + c) = (1/k)·e^kx + c

Okay, så blev jeg også det klogere!