Side 2 - Differentialligninger - Matematik

Svar #21
22. september 2005 af Export (Slettet)

Kan jeg skrive det som følger:

For et x \\in R^n, lad epsilon > 0 være givet. Det skal vises, at der eksisterer et delta > 0, således at

d(x,y) = ||x - y||

for y \\in R^n, med d-metrikken induceret af normen, medfører at

| ||x|| - ||y|| |

Et passende valgt delta ses at være delta = epsilon, thi så haves af trekantsuligheden (Sætning "noget", i "noget andet"), at

| ||x|| - ||y|| | =

hvilket viser, at ||f(t)|| er kontinuert på I.

Svar #22
23. september 2005 af Export (Slettet)

#11: Jeg kom lige til at tænke på, om man i grunden ikke skal vælge C = sup_i ||e_i||, eller givet det ingen mening?

Svar #23
23. september 2005 af Export (Slettet)

Lige endnu et par ting:

1) #11: Mener du ikke at basisvektorer ikke nødvendigvis har længden 1? En enhedvektor har vel pr. definition længden 1 ... oder was?

2) 21: x og y skal naturligvis erstattes af s (eller en anden vektor i R^n) og t.

Men 2), er #21 så korrekt? Og hvad med de to ting til #11?

Svar #24
23. september 2005 af Export (Slettet)

Mht. 2) i #23, så er jeg nu blevet i tvivl ... jeg har vist forvirret mig selv, så jeg vil være meget taknemmlig, hvis der er en, som gider at hjælpe mig med beviset.

Brugbart svar (0)

Svar #25
23. september 2005 af 404error (Slettet)

#21: Det er fint, lige pånær det manglende argument for, hvorfor det giver en kontinuert funktion når du sammensætter.

For et x \\in R^n, lad epsilon > 0 være givet. Det skal vises, at der eksisterer et delta > 0, således at

d(x,y) = ||x - y||

for y \\in R^n, med d-metrikken induceret af normen, medfører at

| ||x|| - ||y|| |

Vælg delta = epsilon. Så haves af trekantsuligheden

| ||x|| - ||y|| | =

Da endvidere f er kontinuert på I og sammensætningen af kontinuerte funktioner er kontinuert, følger at ||f(t)|| er kontinuert på I.

#22) Nu er sup og max af en delmængde af R ens (og begge veldefinerede), når bemeldte delmængde er endelig. Sædvanligvis foretrækkes max i sådanne tilfælde for at indikere endelighed.

#23.1) Naturligvis.

Brugbart svar (0)

Svar #26
23. september 2005 af fixer (Slettet)

#21 En helt analog måde at argumentere på er at vise at ||.|| er Lipschitz-kontinuert. Alle Lipshitz-kontinuerte funktioner er nemlig uniformt kontinuerte (ækvivalent med epsilon-delta definitionen på kontinuitet).

En funktion f:M->N, hvor M og N er metriske rum, er Lipschitz-kontinuert hvis der findes en konstant K>0 således at det for alle x og y i M gælder, at

d(f(x),f(y)) =

Som nævnt i #15 inducerer normen ||.|| metrikken

d(x,y)= ||x-y||, x,y E M

Vi betragter nu normen p:V->R og beregner metrikkerne

d(f(x),f(y)) = | ||x| - ||y| |

d(x,y) = ||x-y||

Bemærk at der ikke er tale om de samme metrikker. Således er d(f(x),f(y)) metrikken i R.

Endvidere haves af trekantsuligheden for normen p

| ||x|| - ||y|| | =< ||x-y|| <=>

d(p(x),p(y)) =

hvoraf følger at normen p er Lipshitz-kontinuert og dermed uniformt kontinuert.

Brugbart svar (0)

Svar #27
23. september 2005 af fixer (Slettet)

# 11 "#7,#8: Dog må ej glemmes, at enhedsvektorer ikke har længde 1 under en vilkårlig norm. "

Det skulle jeg nu nok mene de har :-)

Svar #28
23. september 2005 af Export (Slettet)

Dette er jo intet mindre end fornemt! I skal have mange tak, både 404error og fixer!

Mht. spørgsmål (c), må jeg så få endnu et par hints? Jeg vil gerne forsøge at lave det selv uden mere hjælp end nødvendigt er, men har brug for lige at komme i gang.

Brugbart svar (0)

Svar #29
23. september 2005 af 404error (Slettet)

#27: Enhedsvektor skulle naturligvis have været basisvektor, som det vist også er blevet påpeget - men ud over det står jeg ved min oprindelige rettelse.

Brugbart svar (0)

Svar #30
23. september 2005 af fixer (Slettet)

Skitse til 3:

1. Inddel intervallet [t1;t2] i en endelig sekevns t1=x0Lad for ethvert i, x_i=
Approximèr det bestemte integral med Rieman summen

\\sum[i=0->n+1]{f(t_i)(x_(i+1)-x_i}

som vist ikke er en standardnotation her i foraet. Jeg mener hermed summen for all i E N: 0=<i/>
2. Betragt

t2
||S[f(t)]dt|| (1)
t1

idet f(t) erstattes med Rieman summen. Udnyt regel (b) og (c) i #6 gældende for enhver norm ||.||. Herved fremkommer en ulighed hvor der på den ene side optræder en sum af led af formen ||f(t_i)(x_(i+1)-x_i)||.

3. Redegør for at summen nævnt i 2 er Rieman-summen for integralet

t2
|S[||f(t)||]dt (2)
t1

4. Redegør for at Riemann-summerne konvergerer mod integralerne (1) og (2).

Svar #31
23. september 2005 af Export (Slettet)

#30: Det er jeg ikke rigtig med på; gider du at uddybe / komme med flere hint?

Svar #32
24. september 2005 af Export (Slettet)

Jeg her med på hvad der sker i 1., men det ville være rigtig godt, hvis du eventuelt gider at uddybe 2.-4.

Svar #33
24. september 2005 af Export (Slettet)

#30: Ifølge det du skriver, så burde jeg have følgend:

||S[sum_(i=0)^(n-1){f(t_i)(x_(i+1)-x_i)}]dt||

men jeg kan ikke rigtig finde ud af at omskrive det ved brug af b) og c) i #6, så det vil jeg meget gerne have lidt hjælp til. Jeg er heller ikke rigtig med på hvordan jeg skal vise 3. og 4.

Brugbart svar (0)

Svar #34
24. september 2005 af fixer (Slettet)

Kan du komme videre fra følgende ?

sum[i=0->n-1]{f(t_i)(x_(i+1)-x_i} =

||f(t0)|||x1-x0|+||f(t1)|||x2-x1|+...+||f(t_(n-1))|||x_n-x_(n-1)|

ved udnyttelse af reglerne b og c.

Resten af hints'ene gik sådan set kun på at du jo betragter en følge af Riemann-summer, d.v.s. stadig finere og finere partitioner af I [t1;t2]. Derfor skal der argumenteres for at følgerne på begge sider af uligheden konvergerer mod de søgte integraler.

Svar #35
25. september 2005 af Export (Slettet)

#34: Nu kan jeg godt se, hvordan du får uligheden

sum[i=0->n-1]{f(t_i)(x_(i+1)-x_i}
=< sum[i=0->n-1]{||f(t_i)|| |(x_(i+1)-x_i|}

ved brug af b) og c) i #6, men jeg kan rigtig se hvordan jeg skal komme videre herfra.

Svar #36
25. september 2005 af Export (Slettet)

Slet ingen, der kan hjælpe mig?

Svar #37
25. september 2005 af Export (Slettet)

Opdatering af tråden.

Svar #38
25. september 2005 af Export (Slettet)

Det er ikke for at virke utaknemmlig på nogen måde, men jeg har virkelig brug af hjælp ...

Brugbart svar (0)

Svar #39
25. september 2005 af fixer (Slettet)

Undskyld, har overset den.

Vi fandt at for en sekvensinddeling af I som i #30 at

||sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_(i+1)-x_i)|| =

sum_{i=0}^{n-1}||f(t_i)(x_(i+1)-x_i)|| =

sum_{i=0}^{n-1}||f(t_i)||*|x_(i+1)-x_i)|=

sum_{i=0}^{n-1}||f(t_i)||(x_(i+1)-x_i) =

|sum_{i=0}^{n-1}||f(t_i)||(x_(i+1)-x_i)|

idet t_(i+1) > t_i i talfølgen.

Da både f og enhver norm (ifølge spm 1) er kontinuerte vil Riemann-summerne for stadigt finere sekvensinddelinger konvergere mod de respektive integraler.

||S[sum_(i=0)^(n-1){f(t_i)(x_(i+1)-x_i)}]dt||

Svar #40
25. september 2005 af Export (Slettet)

Rigtig mange tak for hjælpen! Lige et lille spørgsmål: Skal der ikke et bevis med, for at

lim[n-->infty]{||sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_(i+1)-x_i)||}

og

lim[n-->infty]{|sum_{i=0}^{n-1}||f(t_i)||(x_(i+1)-x_i)|}

rent faktisk eksisterer?