Egenværdiproblem for lineær afbildning

f(x(t)) = dx(t)/dt = k*x(t)

Vi har differentialligningen x ' (t) =5 * x(t) = 0 med løsningen x(t) = c * exp( -5 * t).

Når jeg da løser ligningen dx(t)/dt = k*x(t), for k, får jeg k = -5, men det volder mig problemer, at der i næste del af opgaven står

"Angiv dimensionen af de enkelte egenrum, og plot grafen for 3 forskellige vektorer fra hvert egenrum hørende til egenværdierne lambda = -5 og lambda = 0."

Jeg forstår ikke, hvordan man skal komme frem til lambda = 0 også.

Ah, fordi 

"Tallet 0 kan godt være en egenværdi. Det kræver blot at der findes en egentligt vektor v som opfylder f(v) = 0 da vi så har  f(v) = 0 *v."

Bare hvis andre, som mig, heller ikke lige havde fanget den - men det giver jo selvfølgelig god mening! :) 

x ' (t) =5 * x(t) = 0 holder kun for x(t) = 0

Den løsning du angiver er for en speciel egenværdi nemlig egenværdien -5. k kan antage en vilkårlig reel værdi og til hvert k vil der svare nogle egenvektorer.

Hvis du specielt vil finde egenvektorerne med egenværdien 0 får du ligningen x'(t) = 0*x(t) = 0

Jeg forstår det ikke?

Du siger, at "Vi har differentialligningen x ' (t) =5 * x(t) = 0 med løsningen x(t) = c * exp( -5 * t)." Hvor får du den ligning fra mht. til den lineære afbildning jeg har givet?

Det gør jeg heller ikke - jeg gik bare ud fra at det var samme opgave, som jeg sidder med, (som har samme formulering som du her har skrevet) hvor den differentialligning, jeg har skrevet, er givet i første del af opgaven, hvor man skal finde løsningen til denne. 

Jeg kan godt se nu, at det må virke forvirrende, det er dårligt formuleret/oplyst af mig - beklager :) 

Signe jeg har også den samme opgave som dig. Du skriver at: "Når jeg da løser ligningen dx(t)/dt = k*x(t), for k, får jeg k = -5, men det volder mig problemer, at der i næste del af opgaven står"

Hvordan får du k til at være -5?

Vi får at vide, at f(x(t)) = x ' (t) og x ' (t) = - 5 * x(t) (hvis man rykker rundt i differentialligningen). 

Så f(x(t)) = - 5 * x(t) 

og det ligner jo netop egenværdiproblemet! :) altså f(v) = lambda * v

Vi kan også blot i maple gøre følgende, det har jeg f.eks. gjort: 

loesning := c * exp(-5*t);

lamda=solve(diff(loesning,t)=lambda*loesning,lambda);

Så får man lambda = -5. 

Nu håber jeg det er korrekt det jeg siger, og jeg ikke bare har misforstået alting ;)