Universitets-studie

Prøv at komme med et par eksempler herinde. Jeg har i hvert fald før fået hjælp med min ingeniør-mattematik her, og skulle mene der er flere som kan et par triks eller tre. (måske jeg endda kan hjælpe)

Derfor: Fyr løs!

#0. Skyd løs. Der er indtil flere herinde, der i gang med et matematikstudium, og jeg selv har (for lææææænge siden) afsluttet mit :-)

Did someone say mathematics? I certainly hope so :-)

Sabrina, en 2.g'er går da vist ikke på universitetet; der er med andre ord en brugerprofil, som bør undergå en passende modificering :-)

//Epsilon

#0. Bare bring it... hvis det er Københavns Universitet har jeg det samme kursus som dig... ellers kan jeg måske også svare!

Jeg synes faktisk også at springet var ret stort, så det er du ikke ene om.

Specielt forelæsningerne i Lineær Algebra, det var sq noget underligt noget (bestod dog, og har fået styr på det efterfølgende!).

Men skyd løs, der sidder mange meget kvalificerede matematikere i forummet.

Epsilon: Jeg tror, du har helt ret i, at en 2.g'er ikke går på universitetet - derfor er min profil nu opdateret :)

Tak for jeres venlighed!
Jeg vil skynde mig at følge jeres opfordring og stille lidt spørgsmål. Hvis det går godt, vil jeg nok stille lidt flere, da jeg ufattelig gerne vil undgå at komme bagefter fra starten. Desuden har jeg en træls tendens til at blive frustreret, når der er noget, jeg ikke forstår.

1) Kan nogen forklare, hvad der menes med en epsilon-funktion?
(tillægsspørgsmål: min forelæser har skrevet, at e(h)*h=e(h,k)*h, men hvordan kan k bare tilføjes som variabel?)

2) Hvad er forskellen på, om f er entydig eller monoton?

3) Min forelæser benytter ofte betegnelserne "tilstrækkelig betingelse" og "nødvendig og tilstrække betingelse" - nogen der kan se forskellen?

4) Hvis jeg har en f(x,y,z), så kan den ikke illustreres, men min forelæser har skrevet:
f: d --> R , D mindre end/lig med R^3
Hvad betyder denne sætning?

5) Derudover forstod jeg ikke ret meget af Taylors formel samt restleddet. Derfor vil jeg høre, om nogen tilfældigvis skulle kende en god dansk internetside, hvor jeg kan finde noget om det?


Nu må jeg hellere stoppe for nu, ellers ender det bare med, at jeg får skræmt jer helt væk. Det er bare fordi, jeg siden studiestart d. 1. sep har savnet ikke at have nogen, som kan svare på mine spørgsmål.

Til sidst skal jeg lige høre de af jer, som har læst matematik:
Hvordan gjorde I mht notater? Jeg finder det umådeligt svært at tage notater og samtidig lytte til forelæseren, da det går så hurtigt. Jeg har overvejet ikke at tage noter, men det duer jeg slet ikke til - bliver alt for nervøs over, hvad jeg så skal stille op til eksamen.

God weekend til alle :)

5) Denne side er ikke dansk, men den forklarer tingene godt:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Wikipedia er et af den postindustrielle verdens vidundere.

#6

1) Epsilon-funktionen behøver en ingenniør ikke vide noget om, så det kan jeg ikke hjælpe dig med :) (...men jeg kan ikke se de problematiske i, at en funktion pludselig også får et tidligere konstantled ind som variabel. Det ændre jo ikke på den 2-dimmentionale e(h), at du putter ind en ekstra dimmention med k som variabel)

2) Er det nødvendigvis modsætninger?

3) En betingelse kan være nødvendig uden at være tilstrekkelig. Hvis den er nødvendig, er denne ene betingelse "påkrævet", men der er også andre bestingelser som skal opfyldes i tillæg. Er betingelse tilstrækkelig er det nok bare at opfylde denne ene betingelse.

4) f(x,y,z) kan vel da illustreres med overfladen på et bølgende hav ;) -Det med rum kan jeg ikke hjælpe dig med, da jeg ærlig talt aldrig selv har forstået det ordentlig.

5) Hvis du har forstået en Taylor en er smart måde at lave en tilnærmning til en funktion med en masse polynomier, (og grunden til vi gerne vil ha polybomier er, at de er så dejlig enkle at differentiere og integrere), så har du forstået det som tilstrekkelig for en ingeniør. (det vil sige, at jeg ikke kan uddybe det mere, men måske en matematiker skal gå lidt dybere end det). Hvis jeg husker ret, så er det sidste led ikke mere farligt, end at det betegner den fejlen du får ved aproxinimationen.


Du siger du mangler nogen at spørge. Selvfølgelig er du velkommen her, men er der på studiet ikke også læringsassistenter eller ligende ? Studenter som har taget faget før, og nu får løn for at hjælpe yngre studenter. Dette er absolut et tilbud man bør bruge for alt det er værd!

Med hensyn til notater: Det er meget individuelt hvordan man tager notater, men det kommer også lidt an på hvordan du forbereder dig. Sørge du f.eks for at læse dagens kapittel hurtigt igennem inden du kommer på forelæsning? Mange forelæsere kører relativ slavisk gennem pensum, og hvis en udledning allerede står i pensum, er der jo ingen grund til også at du sidder og stresser med at skrive den. For min ingeniør-matematik er det stort set nok, hvis man bare får skrevet ned de eksempler som bliver regnet på tavlen, idet alt andet stort set står i pensum, og så kan man hellere konsentrere sig om forelæsers gennemgang.

#9 Det må så afhænge af ingeniørstudiet hvorvidt man stifter bekendtskab med epsilon-funktioner. På DTU sker det stort set fra dag et.

En epsilon-funktion e(h) er en funktion hvorom det gælder, at

e(h)->0 for h->0

Den kan benyttes ganske bekvemt i Taylors grænseformel. Hvis f:I->R er en C^n funktion i intervallet I og x0 E I, gælder der for ethvert x E I

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!(x-x0)+...+f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n+e(x-x0)(x-x0)^n

hvor e(x-x0)->0 for x->x0 er en epsilonfunktion. Sættes h=x-x0 fås udtrykket på den form du åbenbart er bekendt med.

#10
Hov, næh der var jeg for hurtig. Jeg havde bare lykkeligt glemt alt om den. :)

Darwin:
Tak for linket. Dog vil jeg klart foretrække dansk, da det gør det nemmere at forstå. Derudover søger jeg en udledning af beviset trin for trin (især forklaring af restleddet).

Fixer:
Tak :) Hvis menes med I -> R?
(lidt det samme jeg spørger om i mit spg 4).
Ang. epsilon-funktioner, kan du så svare på mit tillægsspørgsmål til spg 1?

iB:
Tak for din lange svar! :)
1) Kan du uddybe svar 1 lidt? Det vil vel alt andet lige gøre en forskel? Vi ved vel ikke, at k er en konstant.

2) Jeg er nok bare ikke helt med på, hvad det betyder, at en funktion er entydig?
Monoton = f er hele tiden voksende/aftagende i intervallet ?

5) Det er desværre beviset, jeg har problemer med, men også hvorledes man vælger at fastsætte de variable, når restleddet skal vurderes.

Mht. min notatteknik, så læser jeg altid stoffet grundigt igennem før forelæsningen og bagefter går jeg så hjem og renskriver samt prøver at forstå det skrevne. Under forelæsningen skriver jeg også beviser ned, da min forelæser indtil videre har gjort alting lidt anderledes end i bogen.

#12 Med f:I->R menes at f er en afbilding fra mængden I ind i mængden R.

Hvis din forelæser har skrevet f:R^3->R mener han/hun at f er en afbilding fra R^3=RxRxR (mængdeproduktet) ind i R. Frem for "mindre end eller lig med", kan det måske tænkes der menes "er en delmængde af"?

Jeg kan ikke umiddelbart se hvad k skulle være, men i princippet er der ikke noget i vejen for skrivemåden. F.eks. kan vi jo godt skrive

f(x) = xy

for fastholdt y, men varierer både x og y må vi skrive

f(x,y)=xy

#12

1) #13 siger det godt!

2) Entydig betyder vel bare at funktionen kun kan tydes på en måde. I en diskontinuitet kan en funktion fx ofte være flertydig.

Monoton ved du jo tydeligvis godt hvad betyder :)

5) Beklager, der kan jeg ikke hjælpe! (det er 5 år siden jeg havde det i skolen, og små restled som går mod 0 er ingenniører ret ligeglade med. Det samme med beviserne; det var vist næsten kun forelæser som var interessert i dem)

Det lyder som om du er en rigtig "Slider", om dem går det stort set altid godt. Hvis du gør sådan som du siger, så tror jeg ikke du har noget at bekymre dig for!

Prøv evt om du kan få dig selv til at vudere hvilke dele af forelæsningen som er de essientielle, og fukuser på at få taget noter der. Det er en balansegang hvormeget man skal skrive ned, i forhold til at høre efter hvad forelæser siger, men det lærer du efterhånden.

Til de konkrete spørgsmål:

3) Tilstrækkelige og nødvendige betingelser: Man kan også anskue denne sprogbrug v.h.a. implikationspile ("medfører-pile"), samt oversætte den til "hvis" og "kun hvis". Et eksempel: Du kender følgende sætning: "En funktion f : I -> R er er kontinuert i I hvis den er differentiabel i I". Altså: "Hvis f er diff. så er f kont.". Eller: "f diff => f kont.". Den tredie måde at sige dette på er, differentiabilitet af f er en tiltrækkelig betingelse for kontinuitet af f. Så hvis D er en forkortelse for "f er differentiabel" og K en forkortelse for "f er kontiunert", så er siger følgende 5 udsagn det samme:

Hvis D så K
D => K (D medfører K)
D er en tilstrækkelig betingelse for K.
K er en nødvendig betingelse for D.
Kun hvis K så D.

En nødvendig betingelse er noget, der kræves for at det betingede er opfyldt. Det er nødvendigt for en funktion at være kontiunert, hvis den også gerne vil være differentiabel - den kan ikke både være diff. og IKKE kont. på én gang, for det ville være i strid med med hvad vi allerede ved. Eller sagt med "kun hvis": Kun hvis f er kont. kan f være diff.

2) Entydig og monoton: Entydig, også kaldet injektiv, betyder, at der til ethvert element i værdi-mængden svarer højst ét element i definitionsmængden. Eksempel: f: [0, oo[ -> R def. ved f(x) = x^2 er entydig; foreslår vi nemlig et tal i værdimængden, f.eks. y = 4, så findes der kun ét tal i definitionsmængden (!), nemlig x = 2, så f(x) = y. (x = -2 gælder ikke, for vi har forudsat at definitionsmængden var [0, oo[, og inden for denne har du kun x = 2). Denne egenskab, at der højst findes én løsning til f(x) = y kaldes éntydig eller injektiv. Bemærk at definitionsmængden spiller en vigtig rolle. Et ensempel på en funktion der ikke er injektiv er g: R -> R defineret ved g(x) = x^2.

Monoton er voksende eller aftagende i det betragtede interval. Monotoni og entydighed er ikke det samme. Eksempel: f: [0, 2] -> R def. ved f(x) = x+1 for x E [0, 1[ og f(x) = -x for x E [1, 2] (Tegn!) Denne funktion er entydig i hele sin definitionsmængde - men den er ikke monoton. Men omvendt: hvis en funktion er monoton i et interval, så er den også entydig. Eller: monotoni er en tilstrækkelig betingelse for entydighed, hvis du forstår ;-)

Alt dette handler meget om sprogbrug - et godt råd er at prøve ind i mellem at tænke over om du er med på sprogbrugen. En del af uddannelsen er simpelt hen at blive god til at jonglere med sådanne begreber - og mange, mange flere! Jeg skal være den første til at indrømme at det ikke lader sig gøre at tænke over sprogbrug, når man i første omgang kæmper med blot at forstå udregningerne - jeg husker det tydeligt fra mig selv. Det er vel derfor springet er stort. M.h.t. engelsk, kan du lige så godt øve dig i det fra dag 1 - matematisk engelsk er i forhold til andre fag noget af det letteste (fattigste) engelsk der findes. Endelig vil jeg foreslå at danne læsegrupper. Selv om eksamen sikkert er individuel på det bedste universitet, så er en ugentlig drøftelse af studiets gang, opgavernes regning o.s.v. med nogle medstuderende af uoverdrivelig værdi - også socialt.

Tak til jer alle tre! :)

Fixer:
"Med f:I->R menes at f er en afbilding fra mængden I ind i mængden R."
Hvad betyder "f er en afbildning fra mængden I ind i mængden R?
Jeg er aldrig stødt på det i gymnasiet.

Til Brian og iB:
Har desværre ikke tid til at læse jeres indlæg nu, men glæder mig til at suge viden til mig i morgen :)

#16

Termerne 'afbilding' og 'funktion' bruges oftest synonymt. En funktion f, der har definitionsmængden D og værdimængden V, skrives symbolsk som

f:D->V

Med skrivemåden y=f(x), hvor x E D og y E V, menes at funktionen f anvendt på x giver y. Man omtaler også y som billedet af x; heraf synonymet 'afbilding' for f.

Fixer:
Tak for inputtet :)
Så når der står D --> R er værdimængden altså alle reelle tal?

iB:
Tak for din svar også - og ikke mindst dit gode råd i forbindelse med notater :)

Brian:
Tak for dine lange og pædagogiske svar :)
Kan man have en betingelse, som på én gang er nødvendig og tilstrækkelig?
Fx har min forelæser sagt, at for at f har en invers funktion, er det en nødvendig og tilstrækkelig betingelse, at f er entydig.
Kan det passe?

Jeg prøvede at tegne dit eksempel og det hjalp rigtig meget!

Forresten er det virkelig rart at høre erfaringer fra tidligere/ældre studerende, som har læst matematik!


Til alle:
Jeg har lige lidt flere "små" spørgsmål.

a) Ofte står der følgende om f (fx i forbindelse med middelværdisætningen):
f er kontinuert i [a,b] og differentiabel i ]a,b[
Hvorfor skal intervallet være lukket ved kontinuitet og åbent ved differentiabilitet?

b) Hvad hedder retningsvektor på engelsk? Udgår en retningsvektor altid fra (0,0,0)?

c) En dag havde vi om partielle afledede, og jeg er lidt i tvivl om, hvorvidt der bør stå kontinuerte i stedet for differentiable i nedenstående sætning, lige efter "betingelse for":
"Tilstrækkelig betingelse for diff: De partielle afledede eksisterer og er kontinuerte"
Bør de partielle afledede ikke være differentiable?

#18: Nej, notationen

f: D -> R

betyder såmænd, at funktionen f sender (læs: afbilder) et x i definitionsmængden (syn: domænet) over i et reelt tal, f(x) = y E R. Værdimængden (syn: billedmængden) V_f er ikke nødvendigvis hele R, men en delmængde af R. Formelt skrives værdimængden hørende til funktionen f således;

V_f = {y E R | y = f(x), x E D}

Værdimængden er således præcis de reelle tal, y hvorom det gælder, at y er en værdi af funktionen f taget på et x i domænet D.

ad c)
Den er skam god nok. En tilstrækkelig betingelse for differentiabilitet af en funktion f(x,y) af to variable er, at de partielle afledede eksisterer og er kontinuerte. Differentiabilitet af de partielle afledede er relevant, såfremt man ønsker, at f er to gange differentiabel.

//Epsilon

#18: Yes, betingelser kan sagtens både være tilstrækkelige og nødvendige.

Hvis A og B er to udsagn, så har du i flg. mit indlæg #15, at

B => A er det samme som at A er en nødvendig betingelse for B.

Men samtidig har du også at

A => B er det samme som at A er en tilstrækkelig betinglse for B.

Hvad så hvis det oplyses, at "A er en tilstrækkelig og nødvendig betingelse for B"?

Så må der på én gang gælde, at A => B OG at A

A <=> B, (biimplikationspil)

d.v.s. at A og B er ensbetydende.

Det konkrete eksempel har du selv leveret:

For en funktion er entydighed og eksisten af en invers det samme.

(Det er så ikke HELT rigtigt, hvis man definerer éntydighed sådan som jeg gjorde i #15 - hvis det skal være helt rigtigt, må man af entydighed også kræve, at funktionen er surjektiv, hvilket betyder, at den fylder HELE sin værdimængde ud. Injektiv og surjektiv tilsammen kaldes mest præcist for bijektiv, og bijektiv er er ensbetydende med eksisten af invers. Problemt er altså om man vil forstå det danske éntydig som blot injektiv eller både injektiv og surjektiv. Men dette spiller på en ekstrem præcision omkring definitionsmængde og værdiemængde og i realiteten flueknepperi).