Side 2 - Universitets-studie

I forlængelse af #19 bør det nævnes, at man undertiden foretrækker en lidt kortere form:

f(D) = {f(x)|x E D}

som betegnelse for værdimængden for f; 'f(D)' omtales som "billedet af f under (mængden) D." Bemærk, at f(D) således er en _mængde_; ikke en funktionsværdi!

//Epsilon

Hej alle

Tusind tak for al jeres hjælp!

Jeg vil lige høre, om én af jer kender svaret til følgende:

a) Ofte står der følgende om f (fx i forbindelse med middelværdisætningen):
f er kontinuert i [a,b] og differentiabel i ]a,b[
Hvorfor skal intervallet være lukket ved kontinuitet og åbent ved differentiabilitet?

b) Hvad hedder retningsvektor på engelsk? Udgår en retningsvektor altid fra (0,0,0)?
Står vektoren r´(t) altid vinkelret på fladen, hvis vi er I rummet?

d) Ordet "størsteværdi"/"største værdi" dækker det over en fælles betegnelse for globalt ekstremum og lokalt ekstremum? Dvs. hvis man sider, at f(5,2)=25 er største værdi, betyder det så, at der enten er globelt eller lokalt maksimum?

God weekend til jer alle :)

a) Centralt for definitionerne på kontinuitet og differentiabilitet er af en funktion f i punktet x0, er at man betragter en omegn om x0.

En omegn om x0 E R er en mængde M, som indeholder en åben mængde U indeholdende x0, således at

x0 E U (= M

hvor jeg mæd det bizarre tegn "(=" mener: er en delmængde af.

Definitionsmæssigt kan en funktion derfor ikke være hverken kontinuert eller differentiabel i et intervalendepunkt. Men helt analogt med de sædvanlige kontnuitets- og differentiabilitetsdefinitioner har man defineret kontnuitet respektive differentiabilitet fra højre og fra venstre.

En funktion f er kontinuert (differentiabel) i et punkt x0 hvis og kun hvis den er kontinuert (differentiabel) fra både højre og venstre i dette punkt.

Man s i g e r at en funktion f:I->R er kontinuert (differentiabel) i intervallet I, hvis den er kontinuert (differentiabel) i ethvert af intervallets indre punkter og yderligere kontinuert (differentiabel) fra højre henholdsvis venstre i de af intervallets endepunkter, der tilhører I.

Der er derfor ikke noget i vejen for at skrive at f er differentiabel i [a,b].

At der i middelværdisætningen eller f.eks. Taylors formel kun forlanges differentiabilitet i det åbne interval ]a,b[ skyldes udelukkende at f'(x) kun vil skulle beregnes i indre punkter. Derfor er der ingen grund til at forlange mere end at f er differentiabel i det åbne interval.

b) En retningsvektor er en vektor som alle andre og kan afsættes i et vilkårligt punkt.

"Står vektoren r´(t) altid vinkelret på fladen, hvis vi er I rummet? "

Jeg er ikke med.

En parameterfremstilling for en flade F har formen

F ={r(u,v) | (u,v) E M}

hvor M er et område i R^2 og r=(r1,r2,r3):M->R^3. Den positive normal til fladen er orienteret efter vektoren

N = (dr/du X dr/dv)

hvor "d" her betyder partiel afledet og "X" er krydsproduktet.

Det virker nærmere som om du har følgende punktmængde i tankerne

{r(t) | t E I}

hvor I er en delmængde af R og r:I->R^k er en C^n-funktion. Denne punktmængde kaldes en C^n-kurve og r = (r1,..,r_k) en parameterfremstilling for kurven. Kurven har en tangent i punktet r(t) givet ved vektoren r'(t).

Derfor er jeg ikke helt med på hvad du mener.

d) En funktion f:A->R siges at have en størsteværdi i mængden A, såfremt der findes et punkt x0 E A, således at f(x)

Ekstremumspunkter er defineret helt analogt bortset fra at definitionerne restringeres til at f(x)<=f(x0) (hhv f(x)>=f(x0)) i en omegn af det i n d r e punkt x0.

Hvis f har en størsteværdi antages den enten i et ekstremumspunkt eller i et af intervalendepunkterne. For funktioner af flere variable er det lidt mere kompliceret.

Hej Fixer

Mange tak for dine lange svar! De bliver virkelig iværdsat.

a) Jeg forstår ikke
"Definitionsmæssigt kan en funktion derfor ikke være hverken kontinuert eller differentiabel i et intervalendepunkt. Men helt analogt med de sædvanlige kontnuitets- og differentiabilitetsdefinitioner har man defineret kontnuitet respektive differentiabilitet fra højre og fra venstre."
- Skal der da være en omegn om x0 til begge sider af punktet?

Jeg forstår heller ikke det med
"og yderligere kontinuert (differentiabel) fra højre og henholdsvis venstre i de af intervallets endepunkter, der tilhører I"
Det med "fra højre og venstre"?
Desuden så mener du med (differentiabel), at man kan læse det ord i stedet for kontinuert alle steder, ikke?

Lige det sidste spørgsmål til dette emne.
"...skyldes udelukkende at f'(x) kun vil skulle beregnes i indre punkter". Hvordan ved vi det?

b) Du har ret i, at det var en kurve jeg tænkte på. Ved dog ikke, om det er en C^n kurve, da jeg aldrig har hørt om det før. Kurven, som jeg tænker på, ligger i en flade i rummet. Til kurven har jeg en normalvektor = (-df/dx (x0,y0),-df/dy (x0,y0),1)
Her menes partiel differentiation med d'erne.
Min forelæser satte så prikproduktet af normalvektoren og r'(t) = 0

Dette blev gjort for (gennem nogle omforninger) at vise, at vi kom frem til udtrykket for kædereglen.

Tillægsspørgsmål:
Hvis jeg har en retningsvektor r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k og en flade F(x,y,z)=0
Hvor vil r(t) så ligge (start- og endepunkt)?

d) Hvad ændrer sig, når vi snakker funktioner af to varible?


Jeg skal på ruskursus indtil på onsdag, så hvis der går lidt tid, inden jeg svarer tilbage, er det derfor :)

Fik jeg skræmt dig væk, Fixer?

Eller opgav du mon?

Jeg vil virkelig blive glad, hvis du gad svare bare en sidste gang :)

Undskyld. Har overset dit indlæg. Det er ikke meget tid jeg bruger på SP.

a) Ja. I definitionerne på kontinuitet og differentiabilitet betragter man en omegn af et givet punkt x0. Løst sagt er en omegn om x0 en mængde af en sådan beskaffenhed, at at der i mængden er punkter "uden om" x0. En omegn om x0 i R er altså en mængde der indeholder x0 og punkter både større end og mindre end x0.

Kontinuitet fra højre og venstre i et punkt defineres helt analogt med kontinuitet i dette punkt. Forskellen består deri, at i definitionen for kontinuitet betragter man en omegn af punktet. Ved kontinuitet fra højre betragter man ikke længere en omegn af punktet, men derimod et interval, hvori det betragtede punkt er venstre endepunkt. Tilsvarende for kontinuitet fra venstre.

Lidt mere præcist formuleret lyder definitionerne:

Lad f:I->R være en funktion, hvis definitionsmængde I (delmængde af R) indeholder et interval, hvori x0 E I er venstre endepunkt. Funktionen f siges da at være kontinuert fra højre i punktet x0 hvis

f(x)->f(x0) for x->x0+

og:

Lad f:I->R være en funktion, hvis definitionsmængde I (delmængde af R) indeholder et interval, hvori x0 E I er højre endepunkt. Funktionen f siges da at være kontinuert fra venstre i punktet x0 hvis

f(x)->f(x0) for x->x0-

Det er klart, at hvis f både er kontinuert fra højre og venstre i et punkt, så er den kontinuert i dette punkt. Men bemærk altså, at en funktion ikke kan være kontinuert i et intervalendepunkt, kun i indre punkter.

Der kan opstilles helt tilsvarende definitioner på differentiabilitet fra højre og venstre.

Dette faktum har jeg angivet ved i parantes at angive "(differentiabel)" sådan som du påpeger. Det skal altså forståes således, at hvis alle forekomster af ordert kontinuert erstattes med ordet differentiabel, så er udsagnet sandt.

"...skyldes udelukkende at f'(x) kun vil skulle beregnes i indre punkter". Hvordan ved vi det?

Middelværdisætningen følger af Taylor's formel, så lad os nøjes med den. Sætningen lyder helt præcist:

Hvis f:[a,b]->R er n-1 gange differentiabel, og f^(n-1) er kontinuert i det lukkede interval [a,b] og differentiabel i det åbne interval ]a,b[, findes for vilkårlige punkter x0,x E [a,b] et ksi mellem x0 og x, således at

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+(f^(n-1)(x0))(x-x0)^(n-1)/(n-1)! + (f^(n)(ksi)(x-x0)^n)/n!

Bemærk at der kræves at f er n-1 gange differentiabel i [a,b]. Dette betyder jvf ovenstående, at f er n-1 gange differentiabel i alle indre punkter i dette interval (altså i ]a,b[), n-1 gange differentialbel fra højre i a og n-1 gange differentiabel fra venstre i b. Dette er en nødvendig betingelse, thi vi ser det er påkrævet at beregne f^(n-1)(x0). Derimod er det i k k e påkrævet at beregne f^(n)(x0), thi af ksi afkræves blot at det ligger "mellem" x0 og x. "Mellem" skal tages i streng forstand således at x0x0 eller x

b) Lad os først slå følgende fast.

Lad I være et interval. Med C^(0)(I) betegnes mængden af funktioner f:I->R, der er kontinuerte i I. Med C^(n)(I), n E N, betegnes mængden af samtlige n gange differentiable funktioner f:I->R, for hvilke den n'te afledte f^(n) er kontinuert i I. Hvis det af sammenhængen klart fremgår, hvilket interval I der er tale om, sigre man ofte, at en funktion er C^n, hvis f E C^(n)(I).

Lad nu intervallet I være en delmængde af R, og lad r:I->R^k være en C^n funktion (n E N). Punktmængden

{r(t)|t E I}

kaldes en C^n-kurve. At funktionen r er C^n betyder samtlige koordinatfunktioner er C^n. Afbildingen r (husk: afbilding = funktion) siges at være en parameterfremstilling for denne kurve.

Den første afledede r'(t) er en retningsvektor for tangenten til kurven i punktet svarende til parameterværdien t. Den afsættes altså i dette punkt. Tænk til eksempel på t som tiden. Så er r(t) stedvektoren for en partikelbevægelse, og r'(t) er hastigheden til tiden t.

Altså: hvis t=t1, så er r'(t1) retningsvektoren for tangenten til kurven i punktet r(t1). Vektoren afsættes i dette punkt.


d)

Lad A være en delmængde af R^k og lad f:A->R være en given kontinuert funktion. Der gælder:

Hvis f:A->R har en størsteværdi (mindsteværdi), da antages denne enten i et stationært punkt for f eller i et punkt på randen af A eller i et punkt, hvori f ikke har partielle afledede af første orden.

Et stationært punkt er et indre punkt a E A hvori f:A->R har partielle afledede af første orden, og

grad(f)(a) = (df(dx1(a),...,df/dxk(a) = (0,...,0)

Igen 1000 mange tak for din tålmodighed og venlighed, fixer :)

Nu har jeg fået styr på det meste takket være dig. Mangler dog lige at opnå 100% forståelse for begreberne kontinuitet og differentiabilitet.

f er kontinuert i [a,b] og differentiabel i ]a,b[
Hvorfor skal intervallet være lukket ved kontinuitet og åbent ved differentiabilitet?

Du skriver: "Definitionsmæssigt kan en funktion derfor ikke være hverken kontinuert eller differentiabel i et intervalendepunkt" og "Men bemærk altså, at en funktion ikke kan være kontinuert i et intervalendepunkt, kun i indre punkter."
Det er jeg helt med på nu :)

Men kan dog ikke forstå, hvorfor man så forlanger, at f er kontinuert i [a,b], mens f er differentiabel i ]a,b[

Jeg ville have, at begge intervaller skulle være ]a,b[, da du skriver, at f ikke kan være kontinuert eller differentiabel i endepunkterne - altså burde a og b ikke være med i intervallet.

Er det noget værre sludder?

Du er med på, at hvis man om en funktion siger at den er kontinuert i [a,b], så betyder det, at den er kontinuert fra venstre respektive højre i intervalendepunkterne. Og helt analogt hvis man om f siger den er differentiabel i [a,b].

Hvis man så om en funktion f f o r l a n g e r at f er kontinuert i [a,b] men differentiabel i ]a,b[, så siger man sådan set ikke andet end at det er nødvendigt at f er kontinuert fra højre i a og venstre i b, men at differentiabilitet fra højre og venstre i a respektive b er ligegyldig.

Dette er f.eks. tilfældet i middelværdisætningen. Den lyder jo

Hvis f:[a,b]->R er kontinuert i det lukkede interval [a,b] og differentiable i det åbne interval ]a,b[, findes for vilkårlige punkter x0,x E [a,b] et ksi mellem x og x0, således at

f(x)-f(x0) = (x-x0)f'(ksi)

Her er det nødvendigt at kræve at f er kontinuert (fra højre og venstre) i intervalendepunkterne, thi både x og x0 tillades at antage værdierne a og b.

Derimod er det unødvendigt at kræve differentiabilitet fra højre i a og venstre i b. Dette ses af, at sætningen udtaler sig om et ksi strengt mellem x0 og x. ksi kan altså aldrig antage værdien a eller værdien b. Således kan man nøjes med at kræve at f er differentiabel i ]a,b[ - altså udelukkende i indre punkter.

Tror det er dine fine ord, som hyler mig ud af den ;)
fx "...at hvis man om en funktion siger at den er kontinuert i [a,b], så betyder det, at den er kontinuert fra venstre respektive højre i intervalendepunkterne."
Betyder "respektive" i denne sammenhæng blot "og"?

Tak for dit uddybende svar endnu engang! :) Det er fantastisk, så hjælpsom du er!

God efterårsferie - hvis du er så heldig, at have fri.

Yikes... det lyder sqi svært...

#31 Ja. Jeg brugte ordet "respektive" fremfor "og" for at du ikke skulle tro at jeg mente f skulle være kontinuert fra venstre OG højre i hvert intervalendepunkt. Det er selvfølgeligt umuligt.

Så mit ordvalg var en bekvemmelighed for at undgå at skrive den længere sætning

"...at hvis man om en funktion siger at den er kontinuert i [a,b], så betyder det, at den er kontinuert fra venstre i højre intervalendepunkt og kontinuert fra højre i venstre intervalendepunkt."

Jeg forstår det! :) Fantastisk!

Atter rigtig mange gange tak for din hjælp! Der er simpelthen ikke noget, der er så træls, som når der er noget matematik, man ikke forstår (især ikke når man læser matematik ;) )

God efterårsferie, hvis du er så heldig at have fri :)