Side 2 - Matricen

Hvis man nu for hvert n danner en hjælpematrix G_n ud fra matricen F_n ved at ændre det ene element (a₁₁) fra 0 til 1, så har man ved udvikling af determinanten

det(G_n) = 1·det(F_n-1) + det(F_n)                                  (1)

Hvis vi i matricen F_n erstatter søjle 1 med [søjle1 minus søjle 2], får vi en ny matrix med samme determinant som F_n . Da den første søjle i den nye matrix har [-1, 1, efterfulgt af lutter 0er], og da alle de øvrige søjler er de samme som i F_n, finder vi ved udvikling efter første søjle

det(F_n) = -det(F_n-1) - det(G_n-1)                                  (2)

Vi har også fra lign (1), at det(F_n) = -det(F_n-1) + det(G_n) ,

hvoraf vi ser, at der må gælde

det(G_n) = -det(G_n-1)

Da matricen G₁ er lig med 1×1 matricen (1) , ser vi, at der må gælde

det(G₁) = 1 ,

og dermed

det(G_n) = (-1)ⁿ⁺¹

Heraf følger det, at

det(F_n) = -det(F_n-1) - (-1)ⁿ

At vise hypotesen det(F_n) = (-1)^n-1·(n-1) ved induktion efter n bør nu være en simpel sag.

Man har først, at formlen klart er opfyldt for n = 1. Antager vi nu, at den gælder for et n, kan vi udnytte det i rekursionsformlen, som vi lige har vist. Vi har da

det(F_n+1) = -det(F_n) - (-1)ⁿ⁺¹ = -(-1)^n-1·(n-1) - (-1)ⁿ⁺¹ = (-1)ⁿ·(n-1) + (-1)ⁿ = (-1)ⁿ·(n-1+1) = (-1)ⁿ·n

Hermed er formlen vist for alle hele n ≥ 1 .

#21

Mange tak for svaret!

Du skriver: "Heraf følger det, at  det(F_n) = -det(F_n-1) - (-1)ⁿ" <- Hvor kom det fra? Kom det fra her:

Jeg læste, at det(F_n) = -det(F_n-1) + det(G_n), og da det(G_n) = (-1)ⁿ⁺¹ , så

det(F_n) = -det(F_n-1) + det(G_n) = -det(F_n-1) + (-1)ⁿ⁺¹ = .... ?

#22

Det følger jo af, at (-1)ⁿ⁺¹ netop er lig med -(-1)ⁿ .

Tusind tak for hjælpen og din tålmodighed. Du må huske, at du ikke kun har hjulpet mig, men også nogle af os, jeg arbejdede sammen med! Vi nåede endelig at aflevere denne opgave til tiden! Brugbare svar du kom med (side 1 virker ikke at trykke på 'Brugbart svar'-knappen).