Matematik

(p-1)/2 ?

13. december 2012 af anonym1996 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hvorfor gælder det at: 3⁰+3¹+3² = (3³ -1) / 2

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2012 af hesch (Slettet)

Tilfældighed. F.eks. er:

4⁰ + 4¹ + 4² ≠ ( 4³ - 1 ) / 2 ( eller hvad der nu skal gælde her ? )

Svar #2
13. december 2012 af anonym1996 (Slettet)

Jeg havde en formodning om at det havde en sammenhæng med tallet 3. Det er vel talteori og der må være en grund til denne egenskab?

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. december 2012 af hesch (Slettet)

Der kan findes mange eksempler på "mærkelige" sammenhænge, der blot er tilfældigheder:

3² + 4² = 5²

Denne 3,4,5 sammenhæng er først interessant, hvis det f.eks. generelt kan vises at:

N² + ( N + 1 )² = ( N + 2 )²

Svar #4
13. december 2012 af anonym1996 (Slettet)

dvs. der ingen grund til at det gælder? Det er bare en tilfældig sammenhæng?

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. december 2012 af hesch (Slettet)

Ja, ( medmindre du kan finde en mere generel sammenhæng, der også gælder algebraisk ), og sådanne tilfældige sammenhænge kan man finde uendelig mange af.

Brugbart svar (1)

Svar #6
13. december 2012 af PeterValberg

Jeg forestiller mig, at der gælder noget i retningen af:

$\sum_{i=0}^n{a^i}= a^0+a^1+_{\cdots\,\cdots}+a^n=\frac{a^{(n+1)}-1}{a-1}$

der sikkert kan vises med et induktionsbevis

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. december 2012 af PeterValberg

#6 Der skal vises, at for alle a,n ∈ N gælder:

$\sum_{i=0}^n{a^i}=a^0+a^1+a^2+_{\cdots\,\cdots}+a^n=\frac{a^{(n+1)}-1}{a-1}$

Hvilket kan gøres med et induktionsbevis.

Induktionsantagelsen:

$a^0+a^1+a^2+_{\cdots\,\cdots}+a^n=\frac{a^{(n+1)}-1}{a-1}$

Induktionens start (n=1):

$\frac{a^{(1+1)}-1}{a-1}=\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=1+a=a^0+a^1$

hvilket stemmer.

Induktionsskridtet, hvor vi skal vise:

$a^0+a^1+a^2+_{\cdots\,\cdots}+a^n+a^{n+1}=\frac{a^{((n+1)+1)}-1}{a-1}$

Vi ser på venstre side, udnytter induktionsantagelsen og regner videre:

$\begin{align*} a^0+a^1+a^2+_{\cdots\,\cdots}+a^n+{\color{Blue}a^{(n+1)} }&= \frac{a^{(n+1)}-1}{a-1}+{\color{Blue}a^{(n+1)}}\\ &= \frac{a^{(n+1)}-1+(a-1)\cdot {\color{Blue}a^{(n+1)}}}{a-1}\\ &= \frac{a^{(n+1)}\cdot(1+(a-1))-1}{a-1}\\ &=\frac{a^{(n+1)}\cdot a-1}{a-1} \\ &= \frac{a^{((n+1)+1)}-1}{a-1} \end{align*}$

hvilket skulle vises :-)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Skriv et svar til: (p-1)/2 ?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.