Matematik

differentialregning

30. december 2012 af avengers (Slettet)

jeg har et spørgsmål til en opgave om differentialregning

opgaven lyder:

i en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner

N(t) antal individer i populationen til tiden t (målt i døgn).

den hastighed, hvormed N (t) vokser til tiden t, er proportional med produktet af antallet af individer til tiden t og forskellen mellem 10⁶ og antallet af individer til tiden t.

det oplyses at N(0) = 2,0 _* 10⁵

1. hvordan opskrives en differentialligning, som N(t) må opfylde, når proportionalitets-faktoren er 2 _* 10^-8,?

2. hvordan bestemes det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst, ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. december 2012 af Andersen11 (Slettet)

Differentialligningen er så

dN/dt = 2·10^-8·N(t)·(10⁶ - N(t))

Ligningen kaldes den logistiske ligning.

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. december 2012 af mathon

med løsningen
                                                                10⁶                       10⁶
                                        N(t) =   ------------------------ = ---------------                   0 < N(t) < 10⁶
                                                    1+C•e^{-2·10^-8}^•^{10^6}^•t   1+C•e^-0,02^•t

og
                                                              10⁶
                                         N(0) = ---------------- = 2,0 _* 10⁵
                                                      1+C•e^-0,02^•0

1 + C = 5

                                         C = 4
hvoraf
                                                             10⁶
                                       N(t)    = --------------
                                                        1+4•e^-0,02^•t

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. december 2012 af mathon

N ''(t) = 2·10^-8·N '(t) • (10⁶ - N(t)) + 2·10^-8·N(t) • (-N '(t))

N ''(t) = 2·10^-8·N '(t) • (10⁶ - 2N(t)) hvor 2·10^-8·N '(t) > 0

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. december 2012 af mathon

og
N ''(t) = 0 = 2·10^-8·N '(t) • (10⁶ - 2N(t)) og 2·10^-8·N '(t) > 0
hvoraf
N(t) = (1/2)·10⁶

monotoniforhold
   for 0<N(t)<(1/2)·10⁶ er N ''(t)>0, hvorfor N '(t) er monotont voksende
     for (1/2)·10⁶<N(t)<10⁶er N ''(t)<0, hvorfor N '(t) er monotont aftagende
hvoraf ses
at
                   N '(t) har maksimum for
                                                                 N(t) = (1/2)·10⁶

som indsat i
                                                            10⁶
                                       N(t)    = --------------
                                                        1+4•e^-0,02^•t
giver

                                                                     10⁶
                                       (1/2)·10⁶    = --------------
                                                                 1+4•e^-0,02^•t

2 = 1+4•e^-0,02^•t

(1/4) = e^-0,02^•t

4 = e^0,02^•t

ln(4) = 0,02•t

t = 2ln(2) / 0,02

t = ln(2) / 0,01

t = 100•ln(2)

Svar #5
05. januar 2013 af avengers (Slettet)

jeg har et spørgsmål angående udregningen,

hvordan bliver

t = 2ln (2) / 0,02

til

t = ln (2) / 0,01

og derefter

t = 100 _* ln (2)

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. januar 2013 af mathon

t = 2ln(2) / 0,02 = 2ln(2) / (2·10^-2) = ln(2) / 10^-2 = (1/10^-2)•ln(2) = 10² •ln(2) = 100•ln(2)

Skriv et svar til: differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.