gauss elimination

Nej - tværtimod.  Hvis man skal løse ligningssystemet   A*X = B, så skal man i princippet kunne finde den reciprokke matrix A^-1, og det kan kun gøres hvis determinanten af A er forskellig fra nul.

giver ingen mening....

hvis determinanten af matricen er forskelig fra nul så er matricen invertibel og dermed vil der være en unik løsning til enhver vektor b.

hvis determinanten er 0 er der mindst en fri variabel og enhver vektor b vil enten have 0 eller uendelig mange løsninger.

Jeg mener at huske noget med at determinanten skal være forskellig fra 0 for at der er løsninger

hvad bruges determinanten til i sammenhæng med matricer og vektorer og linære algebra?

Gauss eliminering kan benyttes til at løse et lineært ligningssystem. Hvis ligningssystemets determinant er forskellig fra 0, har systemet en entydig løsning. Hvis determinanten er lig med 0, har systemet enten ingen eller uendeligt mange løsninger. Man kan benytte Gauss eliminering i alle tilfældene.

For overhovedet at kunne tale om matricen A´s determinant, kræves det, at A: nxn er en kvadratisk matrix.

Hvis A er en nxn med determinant = 0 kan det skyldes flere ting:

1. En hel række (eller søjle) består af 0´er

2. To eller flere rækker er lineært afhængige (så den ene kan elimineres ved Gauss-metoden)

Gauss-elimination begrænser sig naturligvis ikke til nxn-matricer, men hvorom alt er, så er det(A) = 0 ikke nogen betingelse for at kunne bruge teknikken på kvadratiske matricer. Et nxn system af lineære ligninger har en unik ikke-triviel løsning hvis og kun hvis det(A) ≠ 0. Hvis det(A) = 0 har systemet enten uendeligt mange løsninger eller slet ingen.

men hvordan kan det være determinanten kan bestemme, men  kun ved kvadratiske men gauss kan bruges i alle tilfælde

Gauss-elimination er en teknik, som kan bruges helt uafhængigt af, hvad determinanten for ligningssystemet er.

Teknikken er jo ikke andet end små lineære operationer: forlænge med en faktor, addere/subtrahere rækker etc.

Teknikken kan ved nxn-matricer være en hjælp til at bestemme determinanten, men det omvendte at determinanten skulle afgøre om man kan bruge Gauss-elimination er ikke rigtigt.

#4

Determinanten bruges i høj grad til at bestemme egenværdier, - en meget vigtig anvendelse.