Matematik
Diff.lign.system
Nu er jeg igen stødt på en afleveringsopgave, som jeg ikke ved hvordan jeg skal løse. Der er tale om afleveringen på følgende hjemmeside:
http://www.imf.au.dk/kurser/diffligninger/E05/ugesedler/u5.pdf
Jeg er faktisk helt blank i alle fire spørgsmål, så jo mere hjælp, jo bedre! Måske skal jeg bruge noget fra Opgave B på samme ugeseddel, da der er tale om det samme system, men jeg kan ikke se hvordan (i fald det da skal/kan benyttes).
Svar #3
01. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Under de rette forudsætninger kan systemet skrives
dx2/dx1 = (cx1-d)x2/((a-bx2)x1)
med løsningen
aln(x2)-bx2=-dln(x1)+cx1+k0, k0 E R
Men
L(x1,x2) = cx1-dln(x1)+bx2-aln(x2)+k0
er en bevægelseskonstant, thi
dL(x1,x2)/dt=6L/6x1(dx1/dt)+6L/6x2(dx2/dt) =
(c-d/x1)x1(a-bx2)+(b-a/x2)x2(cx1-d) = 0
Altså er trajectorierne til systemet i K netop niveaukurverne L(x1,x2)=konstant.
Udnyt hvad du ved om bevægelseskonstanter.
Disse trajectorier er iøvrigt lukkede kurver, thi L(x1,x2) ses at have kvadratisk minimum i det ikke-trivielle fixpunkt (el. kritiske punkt) for systemet (d/c,a/b).
Svar #4
01. oktober 2005 af Export (Slettet)
Jeg bruger nu notationen på ugesedlen!
Jeg kan godt se, at
Y(x1,x2) = x1'/x2' = [d(x1)/dt]/[d(x2)/dt] = (c*x1-d)x2/((a-b*x2)x1)
såfremt
U = {(x1,x2) E K | x1 != d/c, x2 != a/b},
men jeg kan ikke finde ud af at vise, at U er tæt i K (at den er åben, er nemt at indse). Jeg kan heller ikke helt se hvordan du får løsningen
a*ln(x2)-b*x2 = -d*ln(x1)+c*x1+k0, k0 E R. (*)
Gider du at uddybe, hvordan du kommer frem til denne løsning?
Ifølge det du skriver i (*), vil jeg mene at
F(x1,x2) = c*x1-d*ln(x1)+b*x2-a*ln(x2)+k0
direkte må være nul (da du trækker venstresiden af (*) fra på begge sider af (*)), hvorved man med det samme -- uden alle mellemregningerne -- har at
d(F(x1,x2))/dt = 0.
Gider du også at give mig et hint til hvad det er ved egenskaberne for bevægelseskonstanter, som jeg skal bruge for at vise, at F:U-->R er en C¹-funktion?
Svar #6
02. oktober 2005 af Export (Slettet)
Gider du ikke nok at uddybe #3 lidt nærmere (jf. #4) samt komme med lidt flere hints?
Svar #7
02. oktober 2005 af fixer (Slettet)
dx2/dx1 = (cx1-d)x2/((a-bx2)x1)
som i U er
(dx2/x2)(a-bx2) = (dx1/x1)(cx1-d) <=>
(a/x2-b)dx2 = (c-d/x1)dx1 <=>
aln(x2)-bx2 = cx1-dln(x1) + k0 (*)
hvor k0 er integrationskonstanten (bevægelseskonstanten). Du har naturligvis ret i at de i #3 angivne kontrolregninger til eftervisning af at der er tale om en konstant, kan spares.
Mht hvordan det - ud fra (*) - vises at U er tæt og F C^1, så skal jeg lige tænke lidt over det.
Svar #8
02. oktober 2005 af Export (Slettet)
Okay, nu er jeg med på det i #3.
Jeg må ærligt indrømme, at jeg er lidt forvirret over hvad det faktisk er jeg vi indtil videre har vist af det ønskede på ugesedlen. Det jeg skal vise er følgende:
1) Der findes en C¹-funktion F : U --> R som opfylder, at
a) U er en delmængde af K,
b) U er tæt i K,
c) Gradienten af F er != 0 for alle vektorer x i U,
d) F er konstant på alle baner af systemet.
2) Alle baner er indeholdt i en kompakt delmængde af K.
3) Systemets felt X : K --> R² er fuldstændigt.
Den funktion F jeg skriver i #4, er vel den bevægelseskonstant der foreslås at jeg finder for at vise 3), men ikke den C¹-funktion F : U --> R, der ønskes funder i 1), eller er det faktisk den samme funktion? Undskyld alle mine spørgsmål!
Svar #9
02. oktober 2005 af Export (Slettet)
Har du funder ud af noget brugbart?
Hvis der er andre, som kan hjælpe, må I meget gerne skrive også!
Svar #10
02. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Ved bestemmelsen af bevægelseskonstanten har vi vel implicit bestemt F og vist den er konstant på banerne.
Vi må skulle bruge vores implicit givne løsning til de videre argumenter.
Den i opgaven angivne definition på at en mængde er tæt er ikke helt klar for mig. Har du andre steder i din bog set eksempler på anvendelsen af denne definiton ?
Svar #11
02. oktober 2005 af Export (Slettet)
Altså hvis jeg skal vise, at gradienten af F : U --> R er forskellig fra nul, så får jeg da et problem (gør jeg ikke?), for
F(x1,x2) = 0,
jævnfør det vi kom frem til i #4 og #7. Og når funktionen er nul, så må hver af de afledede da også være det. Derfor vil jeg ikke mene at F(x1,x2) kan være givet ved
c*x1-d*ln(x1)+b*x2-a*ln(x2)+k0, (*)
som jeg foreslår i #5. Derimod kan (*) godt være bevægelseskonstanten, som jeg skal bruge til at vise, at X er fuldstændigt.
Jeg kan ikke finde nogen steder i min bog, hvor der er givet eksempler på anvendelse af denne definition af at en mængde er tæt.
Svar #13
02. oktober 2005 af Export (Slettet)
Vi bruger en der hedder "Differential Equations: Theory and Applications with Maple". Det er et rødt omslag på bogen -- siger den dig noget?
Svar #14
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Ja, desværre - hvis forfatteren hedder David Betounes. Uuuh, den bog gjorde mig meget, meget vred! Den er så ringe skrevet og indeholder så mange fejl, at man helt burde lade den udskifte.
Jeg kan ikke umiddelbart assistere med vink, eftersom linket i det første indlæg tilsyneladende ikke virker for øjeblikket. Universitetets server er formentlig midlertidigt ude af drift.
//Epsilon
Svar #15
02. oktober 2005 af Export (Slettet)
Ja, det er den -- og ja, den er en stor fejl (eller vittighed, om man vil) på 680 sider.
Svar #16
02. oktober 2005 af Export (Slettet)
Svar #17
03. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Ak ja, alene antallet af kommentarer på den ugeseddel bekræfter min holdning til bogen i #14.
Nuvel, for så vidt angår opgaven, så lad mig slå fast, hvad vi vistnok kan blive enige om indtil videre.
Vi har systemet
x_1' = (a - bx_2)x_1 (*)
x_2' = (cx_1 - d)x_2 (*)
hvor
(x_1,x_2) E K = {(x_1,x_2) E R^2 | x_1,x_2 > 0}.
Idet vi benytter separation af de variable, har vi
dy/dt = (ct-d)y/((a-by)t)
hvilket giver os, at
S[(a-by)/y]dy = S[(ct-d)/t]dt
Så bevægelseskonstanten for systemet bliver
F(t,y) = a*ln(y) - by - ct + d*ln(t)
(jf. i øvrigt proposition 4.2 og eksempel 4.6 i den hinsides enhver menneskelig fatteevne dårligt skrevne, røde bog).
Vi håber på, at C1-funktionen
F(x_1,x_2) = a*ln(x_2) - bx_2 - cx_1 + d*ln(x_1)
kan bruges. Vi ser først, at
(nabla)F(x_1,x_2) = (d/x_1 - c, a/x_2 - b)
så det eneste kritiske punkt for F på K er
(x_1,x_2) = (d/c,a/b).
Vi kan så sætte U = K\\{(d/c,a/b)}, som klart er en åben, tæt delmængde af K. Ethvert punkt i K er grænsepunkt for en følge, hvis elementer tilhører K.
Vi skal så vise, at F er konstant på systemets baner. Lad dertil
(x_1,x_2): I -> K
være en løsning til (*); vi skal så vise, at
F(x_1(t),x_2(t)) = k, t E I
Dette gøres ved at differentiere udtrykket og se, at det giver 0;
d/dt[F(x_1(t),x_2(t))] =
(nabla F)*(x_1'(t),x_2'(t)) =
F_x_1(x_1(t),x_2(t))x_1'(t) + F_x_2(x_1(t),x_2(t))x_2'(t) =
(d/x_1(t) - c)(a - bx_2(t))x_1(t)
+ (a/x_2(t) - b)(cx_1(t) - d)x_2(t) =
0
hvor vi ved næstsidste lighedstegn brugte, at (x_1,x_2) løser (*). Gang selv ud og se, at det _giver_ 0.
Slutteligt et par vink til den resterende del af opgaven:
a)
Vi har vist, at F er konstant på enhver bane. Det er da nok at vise, at for enhver konstant k er mængden
F^(-1)(k) = {(x_1,x_2) E R^2 | F(x_1,x_2) = k}
indeholdt i en kompakt (læs: lukket og begrænset) delmængde af K (da enhver bane er indeholdt i en sådan mængde).
b)
At systemets felt er fuldstændigt følger så umiddelbart af a) og Theorem 3.8 i bogen (de to sidste linjer i sætningen).
//Epsilon
Svar #18
03. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)
Godnat!
//Epsilon
Svar #19
03. oktober 2005 af Export (Slettet)
Det var jo en stak ganske fornemme forklaringer, må man sige! Først, for nu ikke at glemme det: mange tak for hjælpen!
Jeg har dog lige endnu et spørgsmål:
1) Du skriver i vink a), at
F^(-1)(k) = {(x_1,x_2) E R^2 | F(x_1,x_2) = k},
men skal det ikke være
F^(-1)(k) = {(x_1,x_2) E K | F(x_1,x_2) = k},
altså at (x_1,x_2) er elementer i K? Eller er jeg helt galt på den?
Gider du at hjælpe mig lidt mere på vej med at vise, at F er konstant på banerne? Jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal få vist det du foreslår.
Svar #20
03. oktober 2005 af Export (Slettet)
Godnat! Håber du er frisk på at hjælpe mig lidt mere i morgen!