Side 2 - Diff.lign.system

#19:
"Gider du at hjælpe mig lidt mere på vej med at vise, at F er konstant på banerne?"

Det har vi vist ved differentiation i #17. Du skal bare eftervise, at det giver 0, som jeg påpeger i #17. Thi så må F være konstant på systemets baner.

Det eneste, som udestår, er at vise, at enhver bane er indeholdt i en kompakt delmængde af K,

K = {(x_1,x_2) E R^2 | x_1,x_2 > 0}

og dertil kan du bruge nedenstående vink.

"(...) men skal det ikke være

F^(-1)(k) = {(x_1,x_2) E K | F(x_1,x_2) = k}"

Nej, for vi skal jo netop vise, at mængden

F^(-1)(k) = {(x_1,x_2) E R^2 | F(x_1,x_2) = k}

er indeholdt i en kompakt delmængde af K. Så dur det jo ikke, at vi antager, at (x_1,x_2) E K.

Vink: gør rede for, at funktionerne

f(x_1) = d*ln(x_1) - cx_1
g(x_2) = a*ln(x_2) - bx_2

er opad begrænsede på ]0;infty[. Thi dermed ved vi, at der specielt findes et K således, at

f(x_1) =

for alle (x_1,x_2) E ]0;infty[. Så gælder det blot om at udnytte dette på passende vis.

//Epsilon

Undskyld min uvidenhed, men jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal vise at

f(x_1) = d*ln(x_1) - cx_1
g(x_2) = a*ln(x_2) - bx_2

er opad begrænsede på ]0;infty[, og hvordan jeg skal bruge dette til at vise det oenskede.

#22:
Det er umiddelbart klart, at f og g opfører sig ens; de har præcis samme form (a,b,c,d > 0 kan være indbyrdes forskellige, men det betyder intet for den overordnede opførsel af f og g).

Gør rede for, at

f(x_1) -> -infty
g(x_2) -> -infty

for x_i -> 0+ hhv. x_i -> infty, i = 1,2.

Måske vil x_i -> infty volde dig lidt problemer; men prøv da at ihukomme, hvad vi fra den matematiske analyse ved om brøken

ln(t)/t

for t -> infty.

Ovenstående viser, at f og g er opadtil begrænsede på ]0;infty[. Overvej hvorfor.

Brug dernæst begrænsetheden af f og g til at udtale dig om opførslen af funktionen

F(x_1,x_2) = f(x_1) + g(x_2)

for x_i -> 0+ hhv. x_i -> infty og slut endelig derigennem, at

F^(-1)(k)

er indeholdt i en kompakt (lukket og begrænset) delmængde af K.

I øvrigt skal jeg beklage det mildest talt uhensigtsmæssige valg af K sidst i #21; K betegner i forvejen en delmængde af R^2. Lad os derfor i stedet sige, at vi kan finde et M således, at

f(x_1) =

for alle x_1,x_2 E ]0;infty[.

//Epsilon

#23:
For dælen, den spadeorddeling. Én gang til:

"Ovenstående viser, at f og g er opadtil begrænsede på
]0;infty[. Overvej hvorfor."

//Epsilon

#23:
Undskyld det sene svar.
Jeg har nu fået vist, at f,g : R_+U{0} --> R er opadtil begrænsede, men jeg ved ikke helt hvordan jeg skal bruge dette til at udtale mig om opførslen af funktionen

F(x_1,x_2) = f(x_1) + g(x_2)

for x_i -> 0+ hhv. x_i -> infty og heraf slutte, at

F^(-1)(k)

er indeholdt i en kompakt delmængde af K.

Lige en ting (flovt ... ved det godt, men): hvad er det nu lige det vil sige, at et vektorfelt er fuldstændigt? Jeg har "bare" glemt -- ved det godt, når jeg hører det.

#25:
For nu at begynde bagfra:

"(...) hvad er det nu lige det vil sige, at et vektorfelt er fuldstændigt?"

Definition 3.5 i (møg)bogen. I øvrigt, som bemærket i b) i #17, kan det direkte sluttes af det viste i a) (cf. #17) samt Theorem 3.8 (de to sidste linjer i sætningen), at systemets felt er fuldstændigt.

I øvrigt er f,g jo ikke definerede i 0, som du ellers skriver i #25 (den naturlige logaritmefunktion har R+ som naturligt domæne). Vi har, at

f,g: R+ -> R

er opadtil begrænsede. Opgaven er ganske vist lidt svær, og det er ved at være sent nu, så læs nedenstående argumenter grundigt.

Vi ser nu, at

F(x_1,x_2) = f(x_1) + g(x_2) =< f(x_1) + M -> -infty

for x_1 -> infty.

Bemærk, at vi her bruger, hvad vi ved om g og dernæst f (M er blot en konstant). Specielt findes da et N_1 således, at når x_1 > N_1 er F(x_1,x_2)

F(x_1,x_2) = f(x_1) + g(x_2) =< f(x_1) + M -> -infty

for x_1 -> 0+. Specielt findes et e_1 > 0 således, at når x_1

På helt tilsvarende måde findes M_2 og e_2 for x_2, idet

F(x_1,x_2) = f(x_1) + g(x_2) =< g(x_2) + M -> -infty

for x_2 -> infty hhv. x_2 -> 0+. Vi slutter derfor, at

F^(-1)(k) "er delmængde af" [e_1;M_1]x[e_2;M_2]

som er en lukket og begrænset (= kompakt) delmængde af K.

//Epsilon

#26:
Mange tak! Det var da en meget fornem forklaring, må man nok sige!

Nu vil jeg sætte mig og skrive det hele sammen, og så er det vist "godnat, og sov godt"-tid bagefter.

#27:
Velbekomme. Inden jeg helt henfalder til slummer, må jeg hellere korrigere et par småfejl. M_2 skulle have været N_2 (ikke at det betyder alverden; det er såmænd bare notationsmæssigt mere konsekvent), og den kompakte delmængde af K er derfor

[e_1;N_1]x[e_2;N_2]

Godnat!

//Epsilon