Voksende/aftagende

Benyt additionsformlerne

Det er klart, at cosh(x) > 0 for alle x, og at sinh(x) > 0 for  x > 0, og at sinh(x) < 0 for x < 0.

Hvis x > 0 , har man så , at

cosh(x+y) = a·cosh(x) + b , hvor a ≥ 1 og b > 0 , så det er klart, at cosh(x) er strengt voksende for x > 0 .

Endvidere er cosh(-x) = cosh(x) , så cosh(x) er strengt aftagende for x < 0.

Hvis y > 0 , har man

sinh(x+y) = a·sinh(x) + b , hvor a ≥1 og b > 0 , s9 det er klart, at sinh(x) er en strengt voksende funktion.

Man kan fx se på funktionernes rækkeudviklinger:

sinh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + ...

cosh(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + ...

Man ser at sinh(x = -sinh(-x) og cosh(x) = cosh(-x), hvilket betyder at sinh(x) er voksende i R mens cosh(x) har et minimum for x = 0.

#1

Hvad er a og b?

#2

Tjoo. Men vi skal som sagt tage afstand fra differentiering i dette tilfælde, så kan taylorpolynomium ikke rigtigt bruges.

#1

De er jo forskellige størrelser, afhængig af formlen. Det aflæses af additionsformlerne.

For cosh(x+y) = a·cosh(x) + b er a = cosh(y) og b = sinh(x)·sinh(y) .

For sinh(x+y) = a·sinh(x) + b er a = cosh(y) og b = cosh(x)·sinh(y) .

#4

Tak. Jeg vil lige prøve følge lidt bedre med. Du har valgt x > 0 for den første, og y > 0 for den anden. Gælder der ikke generelt, at x,y≥0 og at x+y≥x for begge funktioner?

" .. at cosh(x) > 0 for alle x .. " Mener du ikke cosh(x) ≥ 1 for alle x ?

er det forkert at skrive >0 hvis >1 ?

er det forkert at skrive >0 hvis >1 ?

måske erstatte y med et positivt Δx i additionsformlerne og bruge limes?

#6

Jeg mente, cosh(x) > 0 et bestemt sted i konklusionen. På et andet sted benyttes, at cosh(y) ≥ 1.

Man skal vise, at cosh(x) er en strengt voksende funktion for x > 0 . Det betyder, at for x₁, x₂ > 0 gælder der

x₁ < x₂ ⇒ cosh(x₁) < cosh(x₂)

Jeg benytter dertil additionsformlen for cosh(x), med x₁ > 0 , og x₂ > x₁ :

cosh(x₂) = cosh(x₁ + (x₂-x₁)) = cosh(x₁)·cosh(x₂-x₁) + sinh(x₁)·sinh(x₂-x₁) .

Da x₁ > 0 og x₂-x₁ > 0 , er sinh(x₁) > 0 og sinh(x₂-x₁) > 0 og cosh(x₂-x₁) ≥ 1 . Derfor har vi

cosh(x₂) = a·cosh(x₁) + b , hvor a ≥ 1 og b > 0 .

Derfor er

cosh(x₂) - cosh(x₁) = (a-1)·cosh(x₁) + b ≥ (a-1) + b ≥ b > 0 .

Hermed er vist, at cosh(x) for x > 0 er en strengt voksende funktion.