Matematik

Omdrejningslegemer

02. oktober 2005 af Elvin (Slettet)

Når f(x) = x^2+2 og y=4 og punktmængden Q={(x;y)|f(x)=< y =<4}, hvordan finder jeg så rumfanget af det omdrejningslegeme der forefindes, når Q drejes 360 grader om x-aksen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Punktmængden Q begrænses af grafen for f(x) og den vandrette linie med ligningen y=4. Tegn det, det gør det ulige meget nemmere at forestille sig hvad næste skridt på vejen skal være.

Voluminet af det omdrejningslegeme der fremkommer ved rotation af grafen for en funktion g om x-aksen er givet ved

V =

x2
S[pi*f(x)^2]dx
x1

hvor x1 og x2 er x-koordinaterne til endepunkterne for det stykke af g's graf, der roteres.

Bestem derfor først x-koordinaterne x1, x2 for skæringspunkterne mellem f(x) og y=4; altså løsningerne til ligningen

f(x) = 4

Når linien y=4 roteres om x-aksen fremkommer en cylinder med volumen V1. Rotation af grafen for f giver en volumen V2. Da punktmængden Q er afgrænset af y=4 og f(x) må det søgte volumen være differensen mellem dem. Og da f(x)

V = V1-V2

Kalder vi nu g(x)=4 vil altså

V =

x2
S[pi*(g(x)^2 - f(x)^2)]dx
x1

=
x2
2S[pi*(g(x)^2 - f(x)^2]dx
0

Til den sidste identitet er det benyttet at Q er symmetrisk om y-aksen. Du vil nemlig opdage at x1=-x2 og at grafen for f er en parabel med grenene opad og toppunkt på y-aksen i (0,2).

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. oktober 2005 af IBM (Slettet)

Bestem grænserne for Q ved at bestemme f(x)=4

Jf. punktmængden er y større end f(x) i [a;b], hvorfor rumfanget af det legeme, der fremkommer, når Q drejes 360 grader om x-aksen, må være:

V(4,f)=pi * S(b-a)(4^2-(f(x))^2)

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#1 Rahsgu

Integralet efter første paragraf skal være

V =

x2
S[pi*g(x)^2]dx
x1

Dernæst må jeg bede dig bære over med diverse talentløse stavefejl.

Tak for idag...

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. oktober 2005 af IBM (Slettet)

#1: Ja, det er lidt bedre skrevet op end mit. S(b-a) er altså det bestemte integrale fra a til b.

Svar #5
02. oktober 2005 af Elvin (Slettet)

Grænserne er jo +/- sqrt(2), så V = [(pi*16x^2)-pi*(x^4+4*x^2+4)], hvorefter grænserne sqrt(2) og -sqrt(2) indsættes? Dette er mere for at se, om jeg har forstået det korrekt

Svar #6
02. oktober 2005 af Elvin (Slettet)

sludder, jeg mener selvfølgelig V = [(pi*8x^2)-(pi*(x^4+4*x^2+4))], med grænserne + sqrt(2) til -sqrt(2)

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#6 Med

g(x) = 4

f(x) = x^2 + 2

fås af #1:

V =

x2
S[pi*(16-(x^2+2)^2]dx
x1

Dine grænser, x1=-x2, er korrekt bestemt.

Svar #8
02. oktober 2005 af Elvin (Slettet)

Mange tak. Hvorledes ændres grænserne, hvis f(x) drejes 360 grader omkring linien y=4?

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#8:
Grænserne ændres ikke, hvis punktmængden

M = {(x,y)| -sqrt(2) =

roteres 360grader om linjen y = 4 frem for omkring førsteaksen, thi grænserne er x-koordinaterne til skæringspunkterne mellem linjen og grafen for f. Voluminet ændres til gengæld.

//Epsilon

Svar #10
02. oktober 2005 af Elvin (Slettet)

Jeg forstår.. men hvad gør jeg for at finde dette voluminet?

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#10:
Observér, at det er ækvivalent med at rotere punktmængden

N = {(x,y)| -sqrt(2) =

360grader om førsteaksen. N er blot en translation (parallelforskydning) af M (cf. #9) 4 enheder lodret. Hvad enten man roterer M om linjen y = 4 eller N om førsteaksen (y = 0), er voluminet af omdrejningslegemet det samme.

//Epsilon

Svar #12
02. oktober 2005 af Elvin (Slettet)

Gælder det for alle omdrejningslegemer, at ligegyldig hvilken linje man rotere den omkring, vil voluminet være det samme?

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#12:
Nej, og det er heller ikke just, hvad jeg skriver. Det gælder jo specielt ikke i opgaven ovenfor; voluminet af omdrejningslegemet, som fremkommer ved en 2*pi-rotation af M (cf. #9) om førsteaksen, er betydeligt større end voluminet af omdrejningslegemet, som fremkommer ved en 2*pi-rotation af M om linjen y = 4. Ganske enkelt fordi afstanden til rotationsaksen er mindre i sidstnævnte tilfælde.

Pointen i #11 er, at man ved at parallelforskyde punktmængden M fire enheder lodret, får en anden punktmængde N (cf. #11), der har præcis samme udformning som M. Men i modsætning til M grænser punktmængden N op til førsteaksen på hele integrationsintervallet. Det er netop sidstnævnte type af punktmængder for hvilke, I har en eksplicit formel til bestemmelse af volumen af omdrejningslegemer.

//Epsilon

Svar #14
02. oktober 2005 af Elvin (Slettet)

mange tak for hjælpen til jer alle

Skriv et svar til: Omdrejningslegemer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.