Differentialligning

Løs differentialligningen

y' + y = x , y(4) = 21 .

Benyt, for eksempel, "panserformlen", der er løsningsformlen for den lineære differentialligning af 1. orden.

OK. Er dette korrekt?

y’ + y = x
y’ = x - y

Panserformlen

y = - ( -1 / 1) + ce^1x

y = 1 + ce^x

Men, hvad jeg skal bruge y(4) = 21 til?

#2

Betingelsen y(4) = 21 bruges til at fastlægge konstanten c . Men dit udtryk er ikke korrekt.

Panserformlen benyttes til at løse differentialligningen

y' + p(x)·y = q(x) ,

og løsningen er

y(x) = e^-P(x) · ( ∫ e^P(x) · q(x) dx + c) , hvor P(x) = ∫ p(x) dx .

Her er p(x) = 1 og q(x) = x , så P(x) = x , og dermed

y(x) = e^-x · ( ∫ e^x · x dx + c) = e^-x · (e^x·x - ∫ e^x dx + c)

       = e^-x · (e^x·x - e^x + c)

       = x -1 + c·e^-x

Konstanten c fastlægges ud fra betingelsen y(4) = 21.

Hmmm. Det forstår jeg desværre ikke meget af, da det eneste vi har haft om lineære differentialligniger af første grad er, at den generelle løsning kan bestemmes ved

dy/dx= - (b/a) +ce^ax

hvorefter man kan bestemme en speciel løsning ved, at substituere et givent punkt i den generelle løsning.

Altså opgavetyper, hvor eksempelvis følgende er oplyst

dy/dx = -2y +3 og f(0) = 9

#4

Af ligningen

y' + y = x

finder man ved differentiation, at

y'' + y' = 1,

og igen ved differentiation, at

y''' + y'' = 0 , dvs.

(y'')' = -y'' .

Derfor har vi

y''(x) = c·e^-x ,

og ved integration 2 gange fås så

y(x) = c·e^-x + ax + b .

Indsætter vi dette udtryk i den oprindelige differentialligning, har vi

y'(x) = -c·e^-x + a = -y + x = -c·e^-x - ax - b + x ,

hvoraf man ser

-a + 1 = 0 , og a = -b , så

a = 1, b = -1 , og dermed er løsningen

y(x) = c·e^-x + x -1 .

Konstanten c fastlægges nu ved y(4) = 21.

Jeg kan bare ikke forstå, at jeg skal fastlægge konstanten c ved y(4)=21

For så er det vel ikke f(x) jeg finder, men f(4)

#6

Man finder samtlige løsninger til differentialligningen som

y(x) = c·e^-x + x -1

hvor c er en reel konstant. Man finder den specielle løsning, der opfylder y(4) = 21 , ved at indsætte dette i den generelle løsning:

21 = c·e^-4 + 4 - 1 = c·e^-4 + 3 , dvs.

c = 18·e⁴ .

Den specifikke løsning, der opfylder betingelsen y(4) = 21 er da funktionen

y(x) = 18·e⁴·e^-x + x -1 = 18·e^4-x + x -1

Ok. Så f(x) skal opfylde den specifikke betingelse. Dette giver vel også meget god mening eftersom x skal betemmes i den næste opgave.

#8

Ja, dér skal man løse ligningen f(x) = 90 .

Præcis. Mange tak for hjælpen.